Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
/J1-
= -(г/ + *),
dx ~dt
20.0
10.0
У 0.0
-10.0
-20.0
dy
— = ж + ау,
dz - , ч -=b + z(x-c).
100.0
20.0
10.0
0.0
-10.0
(10.13) рИСв ЮЛ. Временная зависимость координаты у системы Ресслера (9.13).
При значениях параметров а = 0.15, Ь = 0.2, с = 10.0 система (9.13) характеризуется режимом хаотического аттрактора.
Используем в качестве одномерного временного ряда а^ зависимость во времени одной из координат у (і At), полученную численным интегрированием уравнений (9.13). Будем считать, что вид системы (9.13) и ее размерность нам неизвестны. Наблюдаемая a(t) = y(t), заданная на конечном интервале времени 0 ^ t ^ 100, представлена на рис. 10.1.
Для задания вектора состояния реконструированной системы воспользуемся теоремой Такен-са (9.2). Рассчитывая по наблюдаемой a(t) автокорреляционную функцию, находим время спадания ее до нуля го ~ 1.6 и используем эту величину в качестве времени задержки в (9.2). На рис. 10.2 представлена проекция реконструированного аттрактора на плоскость двух переменных: х\(t) = y(t) и x2\t) = y(t + r).
-20.0
-20.0 -10.0
0.0
10.0 20.0
Рис. 10.2. Реконструированный аттрактор в проекции на плоскость {х\ , X2) 5 где Xi (t) = y(t), x2(t) = y(t + т). Время задержки определялось как время достижения первого нуля автокорреляционной функции (что соответствует приблизительно 1/4 базового периода колебаний). 138
Лекция 10. Реконструкция динамических систем
Для определения размерности модельной системы нужно рассчитать размерность аттрактора и размерность пространства вложения. Для оценки размерности аттрактора вычислим его корреляционную размерность Dc (9.5), используя специальные алгоритмы. На рис. 10.3 приведены результаты расчета зависимости Dc от Ig є, где є — размер ячейки разбиения фазового пространства. Как видно из графиков, вне зависимости от размерности пространства вложения п имеется "полочка" на уровне Dc (? 1.9, который и принимаем за значение искомой размерности.
Таким образом, реконструируемый аттрактор имеет размерность Dtt 2 и может быть "вложен" в трехмерное фазовое пространство. Это означает, что мы можем искать модельную ДС в виде системы ОДУ третьего порядка (п = 3). Искомую систему запишем в виде (9.11), используя полиномиальную аппроксимацию (9.9) и ограничившись значением v = 2. Результаты расчетов коэффициентов, определяющих вид правых частей уравнений (9.11) для п = 3 и у = 2, приведены в таблице.
В результате процедуры реконструкции ДС по одномерному временному ряду мы получили трехмерную ДС вида (9.11) с коэффициентами, приведенными в таблице. Теперь проведем сравнение результатов, которые можно получить, интегрируя как тестовую модель (9.13), так и модельную ДС (9.11). Результаты интегрирования модельной ДС (9.11) представлены на рис. 10.4 в виде зависимости х\(?). Сравнение данных рис. 10.4 с данными рис. 10.1 показывает качественное сходство реального и модельного колебательных процессов. Однако важным, конечно, являются количественные соответствия. Возможно ли с помощью реконструированной системы осуществить прогноз эволюции системы во времени за пределами интервала, на котором нам известна наблюдаемая? С этой целью проведем следующий эксперимент. Возьмем в качестве начального значения координату последней точки наблюдаемой
Рис. 10.3. Результаты расчета корреляционной размерности (при варьировании размерности пространства вложения п). Получено значение Dc (? 1.9 (соответствующее "полочке"). Данное значение позволяет в принципе ограничиться 3-мерным пространством для вложения аттрактора и, соответственно, ограничиться системой 3-х ОДУ 1-го порядка при моделировании. Пример реконструкции динамической системы
139
Таблица
Значение коэффициента аппроксимации
h h h 1-е уравнение 2-е уравнение 3-е уравнение
0 0 0 0.0 0.0 -0.189
0 0 1 0.0 1.0 -9.91
0 0 2 0.0 0.0 0.0
0 1 0 1.0 0.0 0.507
0 1 1 0.0 0.0 1.003
0 2 0 0.0 0.0 -0.150
1 0 0 0.0 0.0 -10.07
1 0 1 0.0 0.0 -0.145
1 1 0 0.0 0.0 1.026
2 0 0 0.0 0.0 -0.145
Коэффициенты аппроксимации нелинейностей в случае полиномиального представления функций Fj (9.9). Параметры реконструкции п = 3, V = 2. Для реконструкции аттрактора используется метод последовательного дифференцирования (9.7). Величины Ij обозначают степени переменных состояния Xi в правых частях системы (9.11).
(рис. 10.1) в момент времени to = 100. Далее проинтегрируем как исходную, так и модельную системы с начальными условиями при t = to и сравним результаты для t > to-На рис. 10.5 приведены соответствующие графики зависимостей y(t) для тестовой системы (9.13) и Х\(t) для реконструированной ДС. Как следует из рис. 10.5, прогноз эволюции системы во времени осуществляется с некоторой ошибкой, которая со временем нарастает. Конкретное время прогноза можно указать, задав точность предсказания. Из результатов рис. 10.5 следует, что если ограничиться ошибкой ±5%, то время предсказания в нормированных единицах будет составлять примерно T = 12.0, то есть около двух базовых квазипериодов колебаний системы.
