Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
На рис. 12.1 нанесены пинии удвоений /* (к = 1,2, 3) и линии критических значений параметров рождения CA, Z1kp- Точками ? обозначены пересечения линий /* и I1. При B0 = O l (рис. 12.1а) бифуркационная линия рождения цикла удвоенного периода совпадает на участке E1 - E1 с линией удвоения периода I2• Для циклов больших кратных периодов картина аналогична. Увеличение B0 до уровня 0,5 (рис. 12.16) приводит к усложнению диаграммы. Линия 1\ совпадает с линией 1\ на участке E-G. Штриховой линией обозначен участок I2, на котором происходит слияние устойчивого цикла периода внешнего воздействия с неустойчивым циклом удвоенного периода. Кроме того, в этом случае имеется еще одна линия удвоения 1\, ограничивающая сектор I слева.
На бифуркационные точки А и В опираются резонансные "клювы", образованные линиями седло-узловых бифуркаций, внутри которых число вращения постоянно и равно значению в точках резонанса на линнн нейтральности. Если проследить за числом вращения ф вблизи и несколько выше линии нейтральности I0, то вдоль нее наблюдается однозначная ступенчатая зависимость ф(т, р) типа "чертовой лестницы" за счет расширения резонансных клювов, которые еще не перекрываются.
На рис. 12.1 показана структура бифуркационных линий в В-клюве. При движении вверх по т внутри клюва на линии нейтральности /0, которая здесь имеет отношение к синхронному циклу на торе, из резонансного цикла мягко рождается новый устойчивый двумерный тор! Для значения B0 = 0,5 линия I0 в Я-клюве терпит разрыв в точках К, соответствующих резонансу 1/2. Из них берут начало две линии I2 и T2, на которых один из мультипликаторов синхронного цикла равен —1. Выше линии I10 в A-клю-ве происходит разрушение вновь родившегося тора с образованием "тор-аттрактора" CAl (сектор 5).
Как видно из рис. 12.1, имеются еще два типа бифуркационных линий I3 и /кр, которые расположены в области эргодических биений и слабых ре-зонансов. На линии , которая в действительности характеризуется сложной фрактальной структурой, фиксируется переход к стохастичности через серию многочисленных бифуркаций, завершающихся разрушением тора с образованием аттрактора CA2 • При B0 = 0,5 на линии разрушается "однотактный" тор (1-тор). С уменьшением амплитуды воздействия разрушению тора предшествует конечная последовательность бифуркаций удвоения торов. Так, для B0 = 0,1 имеет место одно удвоение тора, происходящее при пересечении линии I3 снизу вверх по параметру "п, и на линии 'кр разрушается 2-тор.
Как показали расчеты, с уменьшением интенсивности воздействия число бифуркаций удвоения торов растет, но остается конечным для конечных амплитуд B0 внешнего сигнала.
223 Принципиально новая бифуркация удвоения торов будет обсуждаться специально, а сейчас подведем краткий итог по результатам численных экспериментов. Двупараметрический анализ системы (12.1) на плоскости параметров тир позволил определить типичные бифуркации периодических и квазипериодических режимов и выявить характерные области топологически отличающихся типов колебаний. Основные режимы колебаний в неавтономном генераторе с инерционной нелинейностью следующие: 1 -- область периодических колебаний частоты воздействия; 2 - область резонансных 2-тактных колебаний вблизи р21 2 (на рис. 12.1 эта область не изображена). Характер бифуркаций резонансных 2-тактных колебаний в указанной области с числом вращения ф= 1/2 во многом идентичен случаю резонанса 1/1. В обоих случаях имеются: 3 - область практически эргодических биений с различными числами вращения, 4 - области существования 2-торов, S - области странных аттракторов, порождаемых разрушением двумерных торов, б - области стохастичности, возникающей в результате накопления бифуркаций удвоения периода резонансных циклов на двумерных торах по Фецгенбауму. Внутри резонансных зон, опирающихся на бифуркационные точки коразмерности 2 на линии нейтральности, реализуются синхронные циклы с соответствующим рациональным числом вращения. Внутри клювов синхронизации при движении по параметру т (с удалением от их основания) резонансные циклы теряют устойчивость с рождением притягивающих двумерных торов, разрушение которых в дальнейшем вновь приводит к стохастичности.
12.3. Экспериментальная диаграмма разбиения плоскости параметров системы (12.1)
на секторы с различными колебательными режимами
Численное построение бифуркационных диаграмм (рис. 12.1) требует больших затрат машинного времени, и дальнейшие исследования проведем на радиофизическом неавтономном генераторе, обращаясь к ЭВМ только в специальных случаях. Радиофизический эксперимент, как показал опыт, может не только играть роль контроля адекватности математической и физической моделей, но и служить самостоятельным методом исследования сложных бифуркационных явлений.
Интерпретацию экспериментальных данных проведем в терминах теории бифуркаций, в связи с чем дадим краткие пояснения но методике измерений. В физическом эксперименте параметр т регулировался значением сопротивления Rm «• т, управляющего коэффициентом усиления в цепи положительной обратной связи генератора. Параметр р варьировался изменением частоты возбуждающего генератора ft ~ р, амплитуда воздействия B0 определялась напряжением сигнала внешнего генератора: V0 B0. Параметру, как и при расчетах, был зафиксирован на уровне 0,3.
