Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Определенные классы нелинейных преобразований могут приводить к вероятностным свойствам соответствующих решений и допускать возможность статистического описания. Такие преобразования, или операторы эволюции, являются предметом изучения эргодичеекой теории [15].
Для динамических систем, оператор эволюции которых задан обыкновенными дифференциальными уравнениями, важной является так называема»: задача Коши. Суть ее состоит в обосновании существования и единственности решения. Основные вопросы здесь касаются доказательства существовании и единственности решения, отыскания области определения решения и выявления условий корректности в смысле непрерывности решения относительно начальных условий и параметров.
1.4. Колебательные системы и их свойства
Среди широкого класса динамических систем особую роль играют системы, в которых возможны колебания. Колебательные системы с точки зрения их магематииееких моделей разделяют на определенные классы. Различают линейные и нелинейные колебательные системы, сосредоточенные и распределенные, консервативные и диссинативные, автономные и неавтономные. Особый класс представляют так называемые автоколеои-TejibHbie системы. Основные свойства указанных колебательных систем подробно обсуждаются в работах по теории колебаний [ і6-21 ].
Хаотические автоколебания возникают в нелинейных диссипативных колеГите іьньїх системах как результат усложнения привычных режимов регулярных периодических колебаний при изменении управляющих пара-м..тред системы. В связи с этим кратко проанализируем основные свойства различных классов колебательных систем
Колебаїельная система называется линейнин или нелинейной в зависимости от того, линейка или нелинейна описывающая ее систоли дифференциальных уравнений. Линейные системы являются частным случаем нелинейных, однако в силу принципиальной ьажности линейных систем в исследовании вопросов устойчивости колебаний, ь возможности использования принципа суперпозиции решений, позволяющего исследовать общее поведение линейных сис .ем с помощью частных решений, такая классификация оправдана.
Динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы.
»3 Такое описание возможно в том случае, если динамика системы допускает исследование в предположении сосредоточенных параметров. Например, когда колебательный контур представим как последовательное соединение в замкнутую цепь индуктивности, емкости и сопротивления. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться как сосредоточенная либо как распределенная. Математические модели распределенных систем - зто дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения ее состояния. В теории электрических колебаний систему рассматривают как сосредоточенную в тех случаях, когда длина волны колебаний существенно превышает геометрические размеры самой системы. Если размеры прибора соизмеримы с длиной волны генерируемых колебаний, то систему необходимо рассматривать как распределенную.
По энергетическому признаку динамические системы делятся на консервативные и неконсервативные. Консервативные системы характеризуются неизменным во времени запасом энергии. В механике их называют гамилътоновыми. Для консервативных систем с л степенями свободы определяется так называемый гамильтониан системы Н(р, q), где qt - обобщение координаты, Pi - обобщенные импульсы системы, і = 1, 2, - - . , л. Гамильтониан полностью характеризует динамическую природу системы и с физической точки зрения в большинстве случаев представляет собой се полную энергию. Эволюция во времени консервативных систем описывается уравнениями механики Гамильтона
qt = ЬН(р, q)?Pi, Pi = - ЪН(р, q)/dq„ (1.6)
которые определяют характер фазовых траекторий в 2и -мерном фазовом пространстве. Наличие интегралов движения (или изолирующих интегралов) в гамильтоновых системах приводит к тому, что движение фазовой точки нужно рассматривать не во всем 2л-мерном фазовом пространстве, а на его подмногообразии меньшей размерности. Из уравнений (1.6) следует
Z ( Э^/Э?, + Эр,/Эр/) = 0. (1.7)
/= і
В терминах обобщенных фазовых координат Х/ (1.1) соотношение (1.7) можно представить как
N
Z дії/дх, = 0, (1.8)
что означает равенство нулю дивергенции векторного поля скоростей. Движение изображающих точек в фазовом пространстве интерпретируется в данном случае как стационарное течение несжимаемой жидкости, подчиняющееся уравнению непрерывности. Отсюда следует, что элемент фазового объема в консервативных системах не изменяется во времени, что принципиально отличает такие системы от диссипативных.
Динамические системы с изменяющимся во времени запасом энергии называются соответственно неконсервативными. Системы, в которых
