Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Экспоненциальная неустойчивость и режиме хаотических колебаний, порождающая при конечной точности задания исходного состояния вероятностные свойства детерминированного процесса x(t) в системе (6.1), обосновывает целесообразность использования статистических методов анализа странных аттрактороз. С физической точки зрения к тому же важно, насколько качественное поведение системы в режиме стохастичности сохраняется при возмущениях, т.е. является ли хаотический аттрактор с физической точки зрения грубым или структурно устойчивым? Обычно для ответа на эти вопросы исследуются статистические свойства решений соответствующих ланжевеновских уравнений
і/=//(*,-,Р)+ ' = 12.....N, (6.36)
где //(*/,Л)-детерминированный оператор эволюции,(t(r) - случайные возмущения системы, моделируемые, как правило, в виде белого шума интенсивности D:
j!>(')>--0. (6.37)
При анализе дискретных систем ланжевеновский источник вводится -правые части уравнений каскада
+ (6-38)
Полную информацию о вероятностных свойствах аттрактора дает функция распределения р(х, t, Jt D), удовлетворяющая соответствующему уравнению Фоккера - Планка. В многомерных случаях (N> 3) решать это уравнение - далеко не простая задача даже с помощью современных быстродействующих ЭВМ. Исходи из чисто физических наблюдений, можно существенно облегчить нахождение функции распределения р(х, t, р , D), предположив, что процесс x(t) в системе стационарный и з pro дичее кий. Вследствие стационарности исключается зависимость установившегося рас-
119 пределения от времени, а предположение эргодичности дает возможность заменить усреднение по ансамблю усреднением по времени вдоль одной реализации. При таких предположениях необходимость интегрирования уравнения Фоккера - Планка отпадает и нужная информация может быть полностью получена из численного решения стохастических уравнений (636) или (638).
Функция распределения р0(х, р, D) стационарного эргодического процесса может быть вычислена как предел относительного времени пребывания траектории системы х(г) в элементах объема фазового пространства A Vf, соответствующих некоторому дискретному разбиению.
При заданном конкретном разбиении, например в виде ^мерных кубиков с одинаковыми ребрами А, система (636) интегрируется каким-либо методом на большом интервале времени г 0-При зтом запоминаются данные о числе точек к/, принадлежащих пронумерованным элементам объема A Vf. Если запоминание осуществляется через равные промежутки времени, определяемые, как правило, временным шагом интегрирования, то число точек к/ Є AVf, отнесенное к общему числу точек в массиве данных л = = r/Ar (Ar - шаг интегрирования по времени) будет характеризовать вероятность посещения траекторией элемента объема A Vj, равную относительному времени пребывания траектории в указанном элементе AVf. Определив вероятности для всех / =1,2,3,..., получим соответствующий дискретный закон распределения вероятностей.
Рассмотрим пример численного построения одномерной функции распределения Poixi, р, D), где і - любое число от 1 до N. Получив по реализации область изменения координаты xt(t), разобьем ее на равные интервалы длины А:
*у_ , <*y<Xy-i + А, /=1,2,3,... (639)
Вычислим число точек kf реализации xt(n • Ar), попадающих в каждый интервал. Если в среднем в каждом интервале имеется достаточно большое количество точек, что определяется выбором г о и А, то относительные числа kfjn будут близки к соответствующим вероятностям и мы получим дискретную аппроксимацию функции распределения Poixi, р, D) как совокупность вероятностей .
Pj(x,f.i<x'f<xtf_l+A)=kf/n, Т. ^Pf= \ , (6.40)
где число jm определяется интервалом значений Xi.
im = (*іт« -Ximin)!А. (6.41)
Закон распределения представляется на графике в виде гистограммы, но если А достаточно мало, то приближенно можно изображать Pj(x) как непрерывную зависимость, соответствующую одномерному распределению Ро(.х, р, D).
Зная распределение, можно вычислять энтропию системы по дискретному соотношению
HiitD)=- 2 PyInPy (6.42)
и при необходимости исследовать ее эволюцию в зависимости от интенсивности шума Dh параметров р.
120 Lcjih функция распределения р0(дг, р, D) известна, то можно вычислять такие моменты, как средние значения, среднеквадратичные значения, дисперсию и корреляционную функцию процесса дг(/) в системе. Однако в предположении стационарности процесса процедуру счета моментов функции распределения можно заметно упростить, вычисляя соответствующие величины как временные средние. Алгоритмы расчета среднестатистических характеристик стационарных эргодических процессов хорошо известны, они входят в стандартные программы обеспечения современных ЭВМ и не требуют практически никаких изменений применительно к режимам динамической стохастичности.
Отметим следующий принципиальный момент. При интегрировании на ЭВМ системы, находящейся в режиме странного аттрактора, конкретный вид реализации х(г) весьма чувствителен к изменениям начальных условий. заданию точности интегрирования, шага счета по времени и зависит от конкретного метода численного интегрирования. Все это может сначала вызвать удивление, однако, на самом деле как раз свидетельствует об экспоненциальной неустойчивости траектории в аттракторе, т.е. прин-
