Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2) Можно легко показать, что рассматриваемое периодическое движение устойчиво в смысле Ляпунова. Рассуждения в тексте доказывают лишь абсолютную орбитную устойчивость рассматриваемого движения. В дальнейшем мы подробно остановимся на исследовании устойчивости периодических движений в неконсервативных системах (см. § 6 гл. V).
3) В гл. V мы дадим (для случая одной степени свободы) математическое определение понятий «автоколебание», «автоколебательная система».
4) Под амплитудой (периодических) колебаний какой-либо величины мы будем понимать половину разности максимального и минимального значений Этой величины. § 3] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР В СЛУЧАЕ J-ХАРАКТЁРИСТИКИ 189
Она тем больше, чем меньше затухание колебательного контура.
d
При разлагая е 2 в степенной ряд и ограничиваясь главными
членами, получим следующее приближенное выражение для амплитуды установившихся колебаний тока в колебательном контуре:
Период этих стационарных колебаний в рассматриваемом случае совпадает с «периодом» затухающих колебаний линейного осциллятора. Но это справедливо только для рассматриваемого частного случая. В дальнейшем мы увидим, что, вообще говоря, период автоколебаний вовсе не совпадает с «периодом» затухающих колебаний линейного контура, входящего в состав автоколебательной системы.
Энергия, необходимая для поддержания незатухающих колебаний в контуре, доставляется анодной батареей. Легко видеть, что эта компенсирующая потери энергия поступает из анодной батареи не все время, а только в течение полупериода за каждый период, именно того полупериода, в течение которого течет анодный ток (рассеяние же энергии в колебательном контуре происходит, конечно, все время, гак как контур обладает постоянным сопротивлением R)'). Так как батарея дает ток только в течение полупериода, то средняя мощность, отдаваемая батареей, имеет значение
Wa = 1-^,
где Ea — напряжение, даваемое батареей. Так как і как функция времени нам известна, то можно подсчитать мощность, развиваемую
в колебательном контуре, подставляя в интеграл J RPdt выражение
для і для первой и второй половин периода. Однако, как будет показано ниже, при достаточно малых затуханиях колебания в контуре близки к синусоидальным. Ограничиваясь этим случаем, мы можем для подсчета мощности, рассеиваемой в контуре, считать колебания
21
синусоидальными с амплитудой . Но в таком случае можно принять с достаточной степенью точности, что переменное напряжение на контуре Vf^l'ioL, а средняя за период рассеиваемая в контуре мощность
W=j^ = ^l 21 s — R"s — !s">U = VIs 2 2 ' d к V>
CO L
l) Конечно, за исключением тех моментов времени, для которых ток в колебательном контуре равен нулю. 190
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[гл. Itt
и, наконец, к. п. д. генератора
W I
Is^a
IvA
я Е„ '
Ясно, что переменное напряжение на контуре V должно быть меньше анодного напряжения батареи Ea, так как в противном случае в некоторые моменты напряжение на аноде падало бы до нуля и даже становилось отрицательным, а тогда лампа не вела бы себя так, как мы предполагали, и наша идеализация характеристики в таком случае не была бы применима. Следовательно, к. п. д. генератора при сделанных нами предположениях
не может превышать , т. е. 64°/0').
Остальная часть мощности, отдаваемой батареей, как легко сообразить, рассеивается на аноде лампы в виде тепла.
Исследуем более подробно характер того периодического процесса, который, как мы обнаружили, может происходить в ламповом генераторе.
С этой целью найдем разложение функции, изображающей зависимость силы тока от времени для этого периодического процесса, в ряд Фурье. В частности, это разложение даст нам возможность показать (о чем у нас уже шла речь), что при достаточно малом затухании рассматриваемый периодический процесс будет как угодно близок к синусоидальному.
Функция, изображающая этот периодический процесс с периодом
Г=-- (рис. 125), может быть записана следующим образом:
Рис. 125.
х=1
1
Т.П
тЛ
T.h
1-е
o_w cos M — a) cos 9
_ht COS (u>t — ft)
cos ft
при 0 t ¦
при
2к
(3.22)
где
> = 4- V <4 — h*, 0 = arctg
"•) Коэффициент полезного действия генератора может быть выше 64°/0, если рабочая точка на характеристике смещена влево, т. е. если анодный ток появляется не при нулевом, а при каком-то положительном напряжении на сетке. § 3] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР В СЛУЧАЕ J-ХАРАКТЁРИСТИКИ
191
Здесь константы интегрирования подобраны так, чтобы получилось найденное непрерывно дифференцируемое периодическое решение,
Т. е. чтобы Jf(O) = Jf^j=— х', при t = — для обоих выражений х = х, jf (O) = Jf f—) =Jf [-) = 0, причем Jf 0 для и
¦к 2я
Jf 0 для — —. Воспользовавшись выражениями (3.22), можно
найти по известным формулам разложение ат(^) в ряд Фурье. Однако это разложение можно найти в рассматриваемом случае совершенно иным путем, не зная наперед аналитического выражения х (t). Мы используем этот второй путь, который, допуская простую физическую интерпретацию, приводит к менее громоздким выкладкам. Именно, мы можем рассуждать следующим образом. Исследуя поведение изображающей точки на фазовой плоскости, мы убедились, что
