Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
индуктивности L (L CRi, т. е. h <[ 1). Для этого случая мы получаем разбиение плоскости at, у на траектории, изображенное на 812
разрывны?. колебания
[гл. X
рис. 557 (траектории состоят из дуг спиралей «медленных» движений и из отрезков прямолинейных фазовых траекторий скачков:
a:=-1 х=*1 Рис. 557.
у = const). Это разбиение симметрично относительно начала коорди-у нат, так как и уравнения «медлен-
ных» движений (10.416), и условия скачка (10.44) инвариантны относительно замены переменных аг, у на — аг, —у. Поэтому для рассмотрения колебаний схемы (и, в част-
_V4] ^_ности, для доказательства суше-
^^ 111. _ j Предельный ствования и устойчивости предельного цикла) нам достаточно исследовать преобразование S1 = f(s) точек у = — s прямой X = at2 = 2А — 1 в точки У = Sj прямой АГ = -|- 1, OCy-ществляемое фазовыми траекториями «медленных» движений на полуплоскости х~^>\. Неподвижная точка S этого преобразования, очевидно, соответствует предельному циклу.
Рассмотрим фазовую траекторию системы уравнений (10.416), выходящую при t = 0 из точки (а;2, — s):
hx s — s
X'-t X"t
Рис. 558.
X "X,
X = є ht J Xi cos ojt —
• sin сиt
y=e
s cos u>t -
¦hs
sin U)t § 9]
МУЛЬТИВИБРАТОР с индуктивностью в анодной цепи
813
где ш=|Л—/га (при 1 характеристическое уравнение (10.43) имеет комплексно сопряженные корни >ч,2= — й±у'ш). Пусть при
t = —^ изображающая точка, двигаясь по этой траектории, придет
на прямую лс =-(-1 в точке Jz = S1 (очевидно, Тогда
1 =<г
S1 = e~f
Jfa cos •
- s cos -
--тг jf» і sin т
>ш . і і
¦ (——7S j sin -
Разрешая
где тг = — = ,— ' <о ]/1—fts
эти соотношения относительно S и S1, мы получим следующие параметрические выражения для функции s. соответствия S1=Z(S):
— А'з (cos x — -j sin х)
S1 = u)
х,е
Sin T ¦ (COS t + 1 sin t)
(10.45)
Рис. 559.
Графики полученных непрерывных (при 0<^T<it) функций качественно изображены на рис. 559. Так как при х —»- —j— 0 s->—со, S1^-J-Co, а при т->іс—О s->-j-co, S1 —> -j- со, причем S1^s, то существует (по крайней мере одна) точка пересечения этих кривых — неподвижная точкам* рассматриваемого точечного преобразования. Значение параметра т для нее (т = т*), очевидно, определяется уравнением
eir — Jf2 (cos т — у sin т) = x3e~ir — (cos т -]— -у sin т)
или
е ^t —j— cos т -j- у sin т = Jf2 [e iT-j- cos T —7 sin т] (10.46)
и притом, как нетрудно видеть, единственным образом. Итак, точечное преобразование S1=Z(S) имеет единственную неподвижную точку S*, а на плоскости х,у имеется единственный предельный цикл. Этот предельный цикл устойчив, так как в неподвижной точке
(Isl
ds
<1-
Таким образом, мы убеждаемся, что в рассматриваемой схеме устанавливаются и будут происходить разрывные автоколебания. Форма этих колебаний, вообще говоря, будет заметно отличаться от синусоидальной, так как Jf (т. е, напряжение на сетке лампы JJi), 814 разрывны?. колебания [гл. x
а вместе с ним и напряжение на аноде лампы JI3 в некоторых областях изменяются скачкообразно.
Период автоколебаний в силу симметрии разбиения на траектории
X*
плоскости лг, у, очевидно, равен 2 — в единицах безразмерного времени, или
r=2 VLC ^ (10.47)
V і — h'
в обычных единицах (как и раньше, мы пренебрегаем при подсчете периода автоколебаний длительностью «быстрых» движений — скачков). Ясно, что Г меньше T' - ^a--«условного периода» затухающих колебаний осциллятора, описываемого всюду уравнениями (10.416), так как из-за наличия мгновенных скачков изображающая точка делает оборот быстрее, чем изображающая точка такого осциллятора (именно из-за этого
Подсчитаем период и амплитуду автоколебаний для случая
очень больших L ItL CRi^, когда ft-^1 (и 1). Полагая
в (10.46,) 7 = 0, мы получим нулевое приближение для т*:
X* = тс,
и период автоколебаний T при достаточно больших L близок к периоду колебаний LC-контура без сопротивления — к T0 = = 2тг VLC. Для определения поправки на период при малых j введем
а = и: — "с*.
Тогда, подставляя = — а в (10.46), мы получим для а уравнение ет(я —о) — cos Sj11 а = х2 [е-1(,:-а)— cos а —f sin а] (10.46а)
или, разлагая функции, входящие в уравнение, в стёпенные ряды: . 72(и — а)2 . , а- , а1 , а3 ,
TF + xS- + ••• гЬ1Г + 4Т + - - T Ж + =
Г , і2 (тс — а)2 , , аг а4 , , а3 ] п п
= X2 [-Т«+ 2 +- + "2---4Г + -+ЇТГ- "'I (10"466)
Отсюда следует, что а имеет порядок величины f1/2 и поэтому определяется соотношением
+ =X3 (-¦р + -?) +0(f), § 9] мультивибратор с индуктивностью в анодной цепи
815
Т. е.
__J 3
O=YlT^V ТТ + 0(ТТ) ')• (10.47а)
1 R Г С" \
Таким образом, при L -j CR2 | г. е. при h= у -j- 1J
T = 2* /LC |l - Y (10.476)
1 /о
Как чвидим, поправка на период имеет порядок величины h и поэтому сравнительно велика (для сравнения напомним, что в обычном ламповом генераторе поправка на период является величиной порядка №).
Подставляя (10.47а) в (10.45), получим для s, т. е. для амплитуды автоколебаний переменного у.
