Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что точки стыка фазовых траекторий выделяют дуги линии F, которые соответствуют падающим участкам характеристики трения и вблизи которых изображающая точка не может двигаться при сколь угодно малых положительных моментах инерции J. Иначе говоря, фазовая линия «вырожденной» системы содержит участки, на которых сколь угодно малый момент инерции тормозной колодки является параметром, существенно определяющим характер движения системы.
Нетрудно видеть, что в силу динамики «вырожденной» системы (в силу уравнений (10.32)) рассматриваемая нами система не сможет находиться все время в состояниях, изображаемых точками на траекториях F+-, рано или поздно изображающая точка, двигаясь по F+, придет в одну из точек В, D или D' и «сорвется» в область «бесконечных» 784
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
ускорений. По соответствующей траектории скачка (ВС, DA или DrA') изображающая точка быстро, скачком вновь вернется на одну из траекторий «конечных» ускорений F+ и т. д. (при скачкообразных изменениях состояний скачком изменяется скорость системы СО при неизменной координате ср). В итоге самое большее после двух движений с конечными ускорениями (например, для движения, начинающегося из состояния Ao на рис. 535) в системе установятся разрывные периодические автоколебания, которым на фазовой плоскости соответствует предельный цикл ABCDA (рис. 535) и которые состоят из чередующихся движений с конечными и «бесконечными» ускорениями.
Участок AB этого предельного цикла соответствует движению колодки, «захваченной» валом; колодка вращается вместе с валом равномерно со скоростью 2, при этом пружины деформируются — момент сил упругости возрастает, но вместе с тем возрастает и момент силы трения, все время оставаясь равным моменту силы пружин. Когда момент упругой силы становится равным максимальному моменту силы трения (в точке В), происходит скачкообразное изменение скорости и по величине и по направлению при неизменном растяжении пружин; соответственно изображающая точка «перескакивает» из точки В в точку С, которая соответствует тому же значению момента силы трения
Ж (2 — шс) = M0
и которая снова лежит на фазовой траектории сравнительно медленных изменений скорости ш — на траектории F+ ').
') Практически натяжение пружин при «скачке» немного изменится, так как на самом деле скачок происходит не мгновенно, но чем меньше момент инерции У, тем меньше длительность скачка и тем меньше изменение координаты ср и натяжения пружин. Порядок величины изменений координаты ср при скачке скорости (от 2 до <лс) можно примерно оценить, исходя из следующих соображений. Так как реальная система все же обладает некоторым моментом инерции У, то при скачке скорости изменяется и кинетическая энергия системы на -g- У Д (ш2). Это изменение кинетической энергии должно равняться работе сил натяжения пружин и силы трения:
<р -f- Д<р ер Д^г
1 УД (coa)=j [ — ?<р + М(2— ср)] rfcp ^ — M0+ Ж (2 — co)]rfcp,
Ч> <Р
так как при рассматриваемом скачке
M о.
ср «г COnst =
Если ввести среднее значение момента силы трения во время скачка Afcp, то -^-УД(ша)«г — (Af0—Afcp) Дер, откуда изменение координаты ср при скачке уг ловой скорости:
1 УД(Ш2| 16] МЕХАНИЧЕСКИЕ РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
785
Далее происходит непрерывное изменение скорости и координаты, определяемое уравнениями (10.32J, пока изображающая точка не придет по траектории CD в точку D (w = wD), соответствующую минимуму характеристики трения. Из этого состояния снова происходит скачок скорости (от до Q) при неизменной
(точнее, при почти неизменной) координате где Mi—ми-
нимальное значение момента силы трения (см. рис. 534). Дальше движение ,совершается таким же образом; колодка совершает автоколебания. Соответствующие осциллограммы автоколебаний угла ср и скорости ш качественно м°/к изображены на рис. 536.
«Амплитуда» автоколебаний Mjk координаты ср может быть определена по разности максимального и минимального моментов силы трения — по M0 — M1; именно, она (половина полного размаха) равна
Ma-Ml
<Ро = ~
k
Рис. 536.
Для вычисления периода нужно подсчитать время движения изображающей точки по траекториям F+ от А к В и от С к D (рис. 535). Что же касается участков предельного цикла от точки В до
точки Си от D до А, то. при J-v-f-O они проходятся изображающей точкой мгновенно, а при достаточно малых J настолько быстро, что на периоде автоколебаний это заметно не сказывается. Так как на участке AB <р = 2, то время его прохождения равно:
M0-M1
T1
kQ
Время Ti прохождения изображающей точкой участка CD определяется интегрированием на этом участке уравнений (10.32):
Mi/k L
М-?—-H
M0Zk
M'(Q—u>)
dw,
так как уравнения (10.32) можно записать также в виде:
Hm = -M (Q — ш) -Фг.
4 at
(10.32а) 786
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
Вычислив Г2 (например, графическим интегрированием), мы найдем и период автоколебаний:
7=7, + 7г.
Как уже было сказано, в действительности мгновенных изменений скорости не наблюдается, так как реальная система обладает
