Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Несколько примеров разбиений фазовой плоскости системы уравнений (10.15а) на траектории в предельном случае jj.—приведено на рис. 520—523. На рис. 520 изображен тот случай, когда на линии «медленных» движений (на линии F+) имеется устойчивое состояние равновесия системы, которое и устанавливается после
т. е. л' =----рт—. Поэтому для уравнений «вырожденной» модели (для уравнений (10.16а)) точки •( являются точками, в которых к обращается в бесконечность и которые являются точками стыка траекторий (при переходе через эти точки X изменит знак). Последнее справедливо и в тех случаях, когда F'x(x,y) имеет разрыв непрерывности в точках Y1 что обычно получается при кусочно-линейных уравнениях системы. 762
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
нескольких колебаний. Фазовые портреты, изображенные на рис. 521, 522 и 523, содержат разрывные предельные циклы, т. е. такие замкнутые кривые, которые состоят из кусков траекторий «медленных» движений (на линии F+) и кусков траекторий «быстрых» движений (скачков) у = const, пробегаются изображающей точкой (в соответствии с уравнениями (10.16а) и (10.17а)) периодически и соответствуют поэтому периодическим разрывным колебаниям системы (разрывным автоколебаниям).
На рис. 523 изображено разбиение фазовой плоскости на траектории для случая жесткого режима возбуждения разрывных автоколебаний, когда на фазовой плоскости наряду с (устойчивым) разрывным предельным циклом АБВГА имеется еще и устойчивое состояние равновесия (на участке Ftt линии «медленных» движений). Замкнутая линия абвга является неустойчивым предельным циклом и делит фазовую плоскость на области «притяжения» состояния равновесия и предельного цикла АБВГА. Именно, в системе установится состояние равновесия, если изображающая точка находилась в начальный момент времени в области, лежащей внутри кривой абвга\ если же в начальный момент времени изображающая точка находилась вне этой области, то она придет на разрывный предельный цикл АБВГА, т. е. в системе установятся разрывные автоколебания.
Пусть на фазовой плоскости л:, у системы уравнений
\xx = F(x, у), у = G (х, у), (10.15а)
где, как и раньше, F(x, у), G (х, у) — однозначные непрерывные функции, имеющие непрерывные частные производные, и [л. — малый положительный параметр, имеется (в предельном случае [j.—- + О) разрывный предельный цикл C0: AlBiAiBi... AmBmAl, состоящий из чередующихся т отрезков траекторий «медленных» движений (на линии F+): AlBu AiBi,..., AmBm, и tri отрезков траекторий «быстрых» движений (_y = const): BlAi, BiA3,... ,Bm^Am, BmAl. В силу определения разрывного предельного цикла на каждом из его участков «медленного» движения AkBk (за исключением точки Bk):
F(x,y) = 0, FUxryX 0, 0(х,у)ф 0,
причем знак функции О (л:, у) = у на участке AkBk таков, что изображающая точка движется из точки Ak в точку Bk, и на каждом из отрезков траекторий «быстрых» движений Bk^Ak (точки Bk l и Ak исключаются)
F(x, у)Ф 0
(знак F(x, у) = [>.х на интервале Bk^Ak таков, что изображающая точка «перепрыгивает» из точки Bk^l в точку Ak). В точках Bk (т. е. в точках перехода «медленных» движений изображающей точки в «быстрые», скачкообразные)
Fix, у) = 0, Fx(x, у) = 0, G (х, у) ф 0; § 4] РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
763
мы будем полагать дополнительно, что в них F'y(x, у) и Fxx (х, у) отличны от нуля. Тогда в каждой точке Bk касательная к линии F F(x, у) = 0 горизонтальна, а переменная у (в точках кривой F) имеет максимальное или минимальное значение.
В точке Bk ордината у достигает максимума, если 0(х, у)^> О на AkBk, и минимума, если на AkBk 0(х, 0. Поэтому знак F"
—~ в точке Bk совпадает со знаком функции 0(х, у) на отрезке Fv
AkBk- Далее, так как знак лг не изменяется при переходе изображающей точки через точку Bk (при переходе «медленного» ее
f'g
движения в «быстрое»), л;==---— и Fx<^0 во время движения
Ft
X
изображающей точки по участку AkBk разрывного предельного
P
цикла и X= — во время движения по участку BkAk Jrь то знак
FyO в точке Bk совпадает со знаком функции F(x, у) на последующем интервале «быстрого» движения BkAk^u
Таким образом, знаки Fxx и F'yQ в точке Bk совпадают со знаком функции F(x, у) на интервале BkAkJrг, знак функции G(.v, у) в точке Bk, разумеется, совпадает со знаком этой функции на отрезке AkBp
Для примера на рис. 524 изображен разрывный предельный цикл AiBiAiBiAzB3Au для которого Q(x, _y)j>0 (т. е. у j>0) на участке «медленного» движения AiBi, F(x, у)>0 (т. е. X -J- оо при ^-»¦ + О) на участке «быстрого» движения BiAit 0(х, О на AiBi, F(x, j/)> О на BiA3, О (лг, j/)< О на A3B3, F(x, _у)< О на S3Zl1, Fxx> О, F;>0 в точке S1, > О, F^> О в точке Bi и F'xv 0> Fy О в точке B3.
Рис. 524. 764
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
Докажем при сделанных предположениях относительно системы уравнений (10.15а), что в достаточно малой окрестности разрывного предельного цикла C0 (эта окрестность может быть выбрана сколь угодно малой) лежит единственный и устойчивый предельный цикл системы (10. 15а), если только положительный параметр [j. достаточно мал. Иначе говоря, докажем, что каждый разрывный предельный цикл является предельным положением только одного и притом устойчивого предельного цикла системы (10.15а) при [J.-J- + 0 [60]1).
