Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Требование аналитичности функций Р(х, у) и Q (х, у) введено лишь ради некоторого упрощения доказательств и может быть заменено более слабым требованием существования у этих функций непрерывных частных производных тех или иных порядков (в ряде случаев — первого порядка).
а) Такая форма записи решения возможна только в силу автономности рассматриваемых уравнений (5.1). Действительно, пусть х = <р (t\ х0, у0), У = = X0, Уо) — решение уравнений (5.1), удовлетворяющее начальным условиям: х = х0, у=у0 при * = очевидно, функции <р и ф таковы, что (f (0; х0, у0) = X0 и ф (0; х0,у0)=у0. Так как уравнения (5.1) автономны (их правые части — функции P и Q — не зависят явно от времени t), то их решением будет и система функций (5.2), которая будет (в силу теоремы Коши) единственным решением, удовлетворяющим начальным условиям: х = х0, у=уо при t: t0.
8) Две другие проекции интегральной кривой (5.2) на плоскости х, t и у, t являются, очевидно, обычными осциллограммами изменений х и у при заданном движении системы.
10 Теория колебаний 290
динамические системы первого порядка
[гл, iv
Так как условия теоремы Коши для системы уравнений (5.1) выполнены, то через каждую точку пространства х, у, t проходит единственная интегральная кривая этой системы уравнений, т. е.
интегральные кривые в пространстве х, у, t пересекаться не могут. То же самое благодаря автономности уравнений (5.1) можно сказать и о фазовых траекториях: они также не могут пересекаться, так как через каждую точку фазовой плоскости проходит единственная фазовая траектория').
Для иллюстрации сказанного рассмотрим следующий пример. Если в некоторой точке (х, у) функции Р(х, у) и Q(x, у) обращаются в нули, то уравнения (5.1) имеют своим решением: х = х, у =у (а в пространстве х, у, t — интегральную прямую, параллельную
') В самом деле, если бы, например, через некоторую точку (л:*, у*) фазовой плоскости проходили две фазовые траектории, то тогда и через каждую точку прямой х = х*, у= у* в пространстве х, у, t проходили бы по две различные интегральные кривые уравнений (5.1), что противоречит теореме Коши.
Заметим для сравнения, что интегральные кривые неавтономной системы Jc = P (х, у, t), y = Q(x,y, t) по-прежнему не пересекаются в пространстве X, у, t, если выполнены условия теоремы Коши, но их проекции на плоскость X, у, вообще говоря, будут пересекаться.
t
Рис. 213. § 1] фазовые траектории и интегральные кривые 291
оси t)\ фазовая траектория, соответствующая этому состоянию равновесия, состоит из одной (изолированной) точки. В силу только что указанного свойства фазовых траекторий изображающая точка, двигаясь по другим фазовым траекториям, не может прийти в состояние равновесия ни при каком конечном t. Точно так же изображающая точка, не находящаяся на предельном цикле, не может прийти на него за какой-либо конечный интервал времени. Таким образом, установление состояний равновесия или периодических колебаний в динамических системах, описываемых уравнениями (5.1) с правыми частями, удовлетворяющими условиям теоремы Коши, происходит только асимптотически (только при t -> -j- со).
Если разделить одно из уравнений (5.1) на другое, то мы исключим время и получим одно уравнение первого порядка:
<ly Q (х, у) ,J31
dx Р(х, у) ' к ' '
которое во многих случаях более легко интегрируется, чем система второго порядка (5.1). Решение этого уравнения у = у (дг; С) (или в неявной форме F(x,y) = C), где С — постоянная интегрирования, дает нам семейство его интегральных кривых, т. е. таких кривых на плоскости дг, у, которые в каждой своей точке имеют наклон касательной, определяемый уравнением (5.3) *). Применяя теорему Коши к уравнению (5.3), можно доказать, что вследствие аналитичности функций Р(X, у) и Q(x, у) через каждую точку плоскости дг, у проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (5.3), за исключением, быть может, особых точек этого уравнения, где оно теряет смысл. В рассматриваемом нами случае особыми точками являются только те точки, в которых Р(х,у)=0 и Q(x, _у) = 0, т. е. только состояния равновесия системы (5.1)а). В них интегральные кривые могут пересекаться.
Как легко видеть, каждая фазовая траектория является интегральной кривой или, по крайней мере, ее частью, а интегральная кривая (или ее дуга), не проходящая через особую точку, непременно является фазовой траекторией. С другой стороны, интегральная кривая, проходящая через особую точку, всегда состоит из нескольких фазовых траекторий. Тем не менее, интегрируя более простое
') В дальнейшем под интегральными кривыми мы будем понимать только интегральные кривые уравнения (5.3).
Заметим также, что обычно две кривые, являющиеся решением дифференциального уравнения (5.3) и составляющие аналитическое продолжение друг друга, называют одной интегральной кривой, хотя бы такая кривая и проходила через точку, где это уравнение теряет смысл. Решения, соответствующие так понимаемым интегральным кривым, мы автоматически получаем, например, в тех случаях, когда уравнение (5.3) интегрируется в квадратурах.
