Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
^Yt=T(V)-W(V), (4.18)
Рис. 182.
где V — скорость судна, т — его масса, u T и W— силы упора (тяги) винта и сопротивления судна. T и W являются функциями скорости V, при это^ сила упора винта монотонно убывает с увеличением скорости (при заданном режиме работы двигателя судна), а характеристика сопротивления глиссирующего судна имеет на некотором интервале скоростей падающий участок (она изображена на рис. 182)').
При достаточно малых скоростях движения глиссирующее судно находится в «режиме плавания», когда его вес уравновешивается гидростатическими силами; при увеличении скорости сопротивление движению возрастает. По мере увеличения скорости все ббльшая и большая доля веса судна уравновешивается гидродинамической подъемной силой, действующей на днище корпуса, корпус судна все больше и больше выходит из воды, в результате чего происходит значительное уменьшение погруженной поверхности судна, и на некотором интервале скоростей сила сопротивления уменьшается при увеличении скорости. При больших скоростях движения судно находится в «режиме глиссирования», погруженная поверхность с ростом скорости уменьшается незначительно, и сопротивление снова возрастает с увеличением скорости. § 5] ЗАВИСИМОСТЬ ХАРАКТЕРА ДВИЖЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРА
261
T.W
V,
а)
д)
Рис. 183.
«Состояния равновесия» v = V=Const (здесь они соответствуют режимам равномерного движения судна), очевидно, определяются условием
T(v)=W(v).
В зависимости от характеристики сопротивления W = W(v) и характеристики винта T=T(v) обычно имеется либо один, либо три режима равномерного движения. Типичные случаи изображены на рис. 183, а и б (там же TiW изображены и соответствующие разбиения фазовых прямых на фазовые траектории). Нетрудно видеть, что при наличии одного режима равномерного движения (рис. 183, а) этот режим всегда устойчив, а при наличии трех режимов равномерного движения (рис. 183, б) режимы со скоростями U=V1 и V=V3 устойчивы, а режим со средней скоростью (и = Va) неустойчив. Случай трех режимов равномерного движения может иметь место при упоре винта T=T(v), мало меняющемся с увеличением скорости, и в частности при буксировке моделей глиссеров в испытательных бассейнах, если при буксировке сила тяги T постоянна.
Очевидно, при любых начальных условиях глиссирующее судно приходит в один из устойчивых режимов равномерного движения.
б. Однофазный асинхронный мотор. В качестве второго примера рассмотрим задачу о вращении ротора однофазного асинхронного мотора. Некоторые недостатки этого типа моторов (в чем заключаются эти недостатки — выяснится при нашем рассмотрении) делают его мало пригодным для работы в обычных условиях, и поэтому асинхронные однофазные моторы изготовляются только очень небольших мощностей и используются только в тех случаях, когда при трогании с места и малых оборотах мотора нагрузка на него мала. Этими условиями определяется область применения однофазных асинхронных моторов — ими пользуются, например, для вращения небольших вентиляторов. При питании статора мотора однофазным переменным током получается зависимость вращающего момента ог числа оборотов, примерно указанная на рис. 184. С другой стороны, вращению ротора препятствует трение (в подшипниках) и сопротивление воздуха (движению вентилятора); учитывая как первое («твердое»), так и второе («жидкое») трение, мы можем зависимость момента сил трения от скорости изобразить примерно так, как это указано на рис. 185. 262
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[гл, IV
Обозначая вращающий момент через M (ш), момент сил трения через т(ш) и момент инерции через I, можно написать дифференциальное уравнение движения ротора:
d<*>
I
dt
і m (cd) — m (w).
Мы имеем дело, таким образом, с одной зависимо^ переменной — угловой скоростью О).
M
т
Mm
rndoL
Рис. 184.
Рис. 185.
«Состояния равновесия» (они соответствуют как состоянию покоя ((D = O), так и режимам равномерного вращения мотора) даются уравнением
M (ш) — т (и) = 0.
Чтобы найти корни этого уравнения, строим две вспомогательные кривые z = m ((d) и z = т (ш) и находим точки их пересечения (рис. 186). Далее, как в предыдущем примере, найдем функцию/(ш) =
__ М(<а) ^ т(ш) ^ ПОСТрОИМ траектории на фазовой прямой (рис. 187).
В нашем случае имеются три устойчивых состояния равновесия: (d = u)0; (d = u)2; (d = u)2; и два неустойчивых: (d = u)1 и (d = u)1. Из
устойчивости состояния (d =
= (d0=0, соответствующего полному покою (отсутствие вращения), следует, что ротор, вообще говоря, сам собой не приходит во вращение, его нужно каким-то образом «забросить» за состояния (D1 или (Dj, т. е. раскрутить его до некоторого числа оборотов (d1, после чего он сам доходит до нормального числа оборотов ш.2. Мотор может вращаться как в ту, так и в другую сторону (два устойчивых состояния равновесия (d3 и (d2), и направление установившегося вращения зависит только от
z
z=m(u)
ь>'2 I j \ ш
щ oi0 (о, w2
Рис. 186. § 5] ЗАВИСИМОСТЬ ХАРАКТЕРА ДВИЖЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРА
