Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим преобразование Лоренца (8.8) с бесконечно малыми параметрами ? и Ъ (для инфинитезимальной группы, впрочем, Ъ = v/c; также b ib, = а; см. (8.23)):
Ґ . .V . „ . , \
Ш,ь) =
1 ьх ъу bz
ъх 1 -V V
ьу г 1
bz \х 1
= E + U-I3 + і Nb.
(8.34)
135 В унитарных представлениях генераторам J, N отвечают эрмитовы операторы, в векторном же представлении (8.34) инфинитезимальные матрицы поворотов эрмитовы, а матрицы бустеров — антиэрмитовы:
'о 0 0 O^ 'o 0 0 0N Го 0 0 0I
0 0 0 0 . J2 = 0 0 0 і > J3 = 0 0 —і 0
=
0 0 0 —і * A. 0 0 0 0 0 і 0 0
vO 0 і v0 -і 0 0, ^O 0 0 oj
Го і 0 0I f0 0 і 0I Го 0 0 л I
і 0 0 0 , N2 = 0 0 0 0 , N3 = 0 0 0 0
—
0 0 0 0 7 A. і 0 0 0 ' D 0 0 0 0 '
Io 0 0 oj Io 0 0 oj Vі 0 0 oj
(8.35)
Соотношения коммутации генераторов определяются только правилом умножения элементов группы и потому одинаковы для всех представлений группы. Коммутируя матрицы (8.35), получаем (Eijk — единичный антисимметричный тензор в трех измерениях):
[Л Jj] = ЩкЛ [N, Nj] = -IEijkJk, [Ji, Nj] = IEijkNk. (8.36)
То же самое получается, конечно, если воспользоваться представлением генераторов через матрицы Паули согласно (8.20) — (8.22),
Ji —» (Ji/2, Ni —» zct;/2. Инфинитезимальные матрицы Ai = (Ji - іЩ/2, Bi = (Ji + іЩ/2 удовлетворяют еще более простым соотношениям
[Au Aj] = IEijkAh [Bi, Bj] = IEijkBh [AitBj] = 0, (8.37)
что можно сопоставить с рассмотренными выше спинорными представлениями группы. Через генераторы А, В равенство (8.34) переписывается в виде
L=E- iAj (V - ibj) - iBj (V + ibj). (8.38)
В векторном, обоих спинорных первого ранга, а, значит, и во всех спинорных представлениях, рассмотренных в предыдущем параграфе, А, В — эрмитовы операторы (при комплексных параметрах). Группа Лоренца (по крайней мере, в некоторой окрестности единицы) распадается в прямое произведение двух групп "вращения", что и обуславливает возможность составления ее НП как прямых произведений вида (8.27).
Отметим, что если матрицу Лоренца написать в виде V™ = gvpZ/p, то в окрестности единичного преобразования V™ = + a/v, и a/v = - (ср. (8.3)). Теперь (8.34) можно переписать в ковариантной форме:
L=E + со у Гц =E + comv Tiiv = E- (і/2)ьу Mi
JlV 5
(8.39)
136 где ГЦУ — матрица (проективная) с единичным элементом в р-ой строке и v-ом столбце при прочих элементах, равных нулю, Tiiv = gvp Til9, Miiv = г(Гцу - Tvil). Очевидно, Ъ\ со'7 <г+ Eijk ^k; MiQ = Ni, Mij = Sij-k Jh Jk = SijkMijH, кроме того
[TV, ТУ5] = 5 \Т? - SVC • (8.40)
Отсюда:
[Miiv, Mpo] = IigiloMvp + g^M^-gwMvo- gvoMw). (8.41)
Нетрудно включить в рассмотрение группу Пуанкаре, воспользовавшись 5-мерным представлением (8.7) этой группы при бесконечно малых параметрах a, Ej, b:
(a L(^b)) = E + + iN.b + iP(8.42) где генераторы Pil ("4-импульс") представляются 5-мерными проективными матрицами PiI = - ITil5. Непосредственное вычисление приводит к следующим соотношениям
[Рц, Pv] = 0, [Pi, Jj] = IEijk Pb [Pi, Nj] = -іЬуРь, [Po, Ji] = 0, [Ni, P0] = ІР, (8.43)
или
[Miiv, Pp] = OPiigvp - Pvgiip). (8.44)
Для получения этих соотношений опять-таки можно воспользоваться представлением группы Пуанкаре (8.24) с помощью двумерных матриц.
Определим теперь операторы Казимира групп Лоренца и Пуанкаре. Это составленные из генераторов операторы, коммутирующие со всеми генераторами (а, значит, и со всеми операторами, осуществляющими представление) группы и поэтому, согласно лемме Шура, являющиеся скалярами на пространствах, на которых
осуществляются НП. Значения этих скаляров используются для индексации НП.
2 2 2 2
Единственный оператор Казимира группы вращений [или SU(2)] — это J = Jx +Jy +Jz , принимающий на пространстве НП D^ значение j(j+1). Для полной ортогональной группы Оз еще одним оператором Казимира является оператор пространственной инверсии со значениями +1 и-1, и индексы +,- используются для различения тензоров и псевдотензоров. Как следует из (8.37), операторами Казимира группы Лоренца являются
A2 =A12+A22+A32, B2 =B2 +B2 +В2. (8.45)
Их собственные значения на (неунитарных) НП D ^lj'2 ^ равны, соответственно, 71(/1+ 1) и72(/2+1). Вместо А, В возможно использование их комбинаций
2 (А2 +В2) = J2-N2, -i{A 2-В2)= JN. (7.46)
137 Для общей группы Лоренца существует еще один оператор Казимира — PT (комбинация пространственной инверсии и обращения времени). На пространствах
физических состояний он представляется антиунитарным оператором.
2 2
Операторы А , В не коммутируют с импульсом Р, и поэтому не являются
операторами Казимира группы Пуанкаре. Один оператор Казимира этой группы
очевиден — это лоренц-инвариантная величина
P2 = P02 - P2 = P02 - Pi2 - Pi - Ръ- (8.47)
Еще один оператор Казимира можно получить следующим образом. Из компонент
антисимметричного тензора Miiv (Mo/ = Nit Mik = eiki Ji) и вектора P ° можно составить
псевдовектор
W- = (IH)S^MvpP0 (є0123 = 1),
^ = J.P,W = JP0 + |7VxP], (8.48)
