Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
W D(n-\, п -2,...,0)
где Ij = Xj + п — j, a D — определитель, описываемый формулой (7.17). По структуре эта формула сходна с (7.18).
При ограничении подгруппой H некоторые НП группы G Ця) могут оказаться приводимыми. Возможность приведения тензорного представления ранга г (с любым типом симметрии) означает, что существуют наборы однородных многочленов степени г, Pr(A), от матричных элементов матриц Л є G Ця), которые обращаются в нуль для всех А є Н. Отсюда вытекает, что при ограничении подгруппой вещественных преобразований GЦя,/?) НП полной линейной группы остаются неприводимыми, ибо обращение в нуль полиномов Pr(A) при всех вещественных значениях аргументов приводит к обращению их в нуль и для комплексных аргументов. Любую неособенную матрицу можно записать в виде:
A = (detA)1/пА', А'е SUn). (7.26)
Поэтому НП группы GЦя) остаются неприводимыми и для SЦя). При ограничении унимодулярной подгруппой, однако, некоторые НП полной линейной группы оказываются эквивалентными, а именно:
119 ІЛіД2' — Ди]-ІЛі (7.27)
т.е., отбрасывая в схемах Юнга с п строчками столбцы, содержащие п элементов, мы получаем эквивалентные представления с более простой схемой. Это связано с тем, что антисимметризованное произведение векторов при унимодулярном преобразовании не меняется.
Не возникает существенных изменений и при унитарном ограничении: полином Pr(A), обращающийся в нуль для всех унитарных элементов А, равен нулю на всем GЦя). Это можно проверить, переходя к инфинитезимальным преобразованиям. Каждая унитарная матрица некоторым унитарным преобразованием приводится к диагональному виду (єі,...,є„), єг- = ехр(г'фг); класс сопряженных элементов вполне определяется набором чисел єг. Неприводимое представление группы U(n), описываемое схемой [А,і,...Д„], имеет размерность (7.25) и характер
є'1,. ..,є1»
1щ(гъ...,гп) = —---, (7.28)
є ,...,є
/1 Itl
где п строк определителя |є ,..., є I получаются последовательной заменой є на єі,є2,...,є„, a l\ = A-I + п -1,..., In-1 = A,„_i + 1, In = Xn.
По поводу НП группы SU(n) можно повторить сказанное о группах SЦя); в частности, имеет место формула (7.27). Отметим еще, что два НП группы SU(я), схемы Юнга которых дополняют друг друга до прямоугольника с п строчками, комплексно сопряжены. Простые примеры этого приводятся в главе 9, посвященной унитарным симметриям.
Псевдоунитарные группы U(т, п-т) и SU(m, п-т) сохраняют невырожденную эрмитову форму
{*,>>} = Xi *У1 +... +Xm *ут - Хт+1 *ут+1 -...-Xn *уп. Элементы псевдоунитарной матрицы удовлетворяют соотношениям
т. п
Y u\<ulj< * - Yи\'и)'* = -S/7' (+ Для Ї , - для і' > т). (7.29)
1 m+1
Неприводимые представления групп G Ця) при переходе к этим подгруппам остаются неприводимыми.
7.8. Неприводимые представления ортогональной и симплектической групп
Псевдоортогональная группа О (т,п-т) сохраняет невырожденную симметричную форму В(х,у) (=Xi^I +...+ X^ym - хт+\ут+\ хпуп). Определитель матриц
120 detO = ±1. Частные случаи — ортогональная группа в п измерениях О (и), группа Лоренца 0(1,3). Иногда приходится рассматривать комплексное расширение этих групп 0(я,С), обычно же ортогональные группы, как и симплектические Sp(n), рассматриваются в области вещественных чисел.
НП группы G Ця) при ограничении ортогональной группой перестают быть неприводимыми. Это обусловлено наличием операций свертки (взятия следа) по парам индексов, коммутирующих с ортогональными преобразованиями. Пусть базис пространства тензоров г-го ранга
е^е^..Ar^eii
1\ г2 ir hl2—lr
Свертка по 1-му и к-му индексам определяется следующим образом:
Sm Є: , =S:: 1Є : , =5:: E^X .... (7.30)
ii...ir ilik п ...I1^thim...ik^mik +1... ilik г1...гмг/+1...г4._1г4г+1...гг 4 '
(суммирование по т подразумевается). Очевидно,
(S(lk) FV1 '"'r =-8-- F'1" ¦il-lmiM-ik-lmik+l-ir
¦ ' п iIi к
Оператор &11г> эрмитов и является идемпотентом (проектором), = Прямая
сумма всех r(r-1)/2 подпространств, ^'ttVr' , как и ее ортогональное дополнение
(Ik)
Fq^ , инвариантны относительно и ортогональных преобразований, и всех перестановок индексов. Все следы тензоров F^ обращаются в нуль, поскольку (F(r) F,(r)) = >F.(r) ) = о для любого тензора F,(r). Произвольный тензор
представляется в виде
ph -'r = ph-4 + Yj8iiikGh'J,-liM, (7.31)
(Ik)
где тензоры (г - 2)-го ранга G могут быть найдены из условия обращения в нуль следов тензора Fo.
Представление ортогональной группы бесследными тензорами Fq разлагается на неприводимые посредством разбиения Fq на части, обладающие определенной симметрией относительно перестановок индексов. При этом непустыми оказываются лишь подпространства, описываемые схемами Юнга, у которых сумма длин первых двух столбцов не превышает п: а + Ъ < п. Допустимые схемы разбиваются на ассоциированные пары T и T', такие, что длина первого столбца в T не превышает и/2, тогда как а' = п - а; длины остальных столбцов в T и T' одинаковы. При п четном
121 диаграммы с а = п - а = п/1 самоассоциированы. Каждой допустимой схеме отвечает определенное НП ортогональной группы; НП, отвечающие разным схемам, неэквивалентны.
