Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
л V
т.е., в базисе {Z)(C^) = -гст2, и, таким образом, D1(C^)Sz =-Sz, D1(C^)Sx = -Sx. Тем самым тензор автоматически становится симметричным и диагональным; если же п > 3, то gxx= gyy =
Задачи к разделу 5
1. Каков вид оператора обращения времени в импульсном представлении (без учета спина)?
2. Показать, что матрицы антиунитарных операторов унитарны.
91 3. Показать, что матрица D(Q) симметрична или антисимметрична в зависимости от четности числа электронов.
4. Убедиться в том, что все неприводимые копредставления при наличии вращательной симметрии относятся к первому типу (иными словами, в этом случае симметрия относительно обращения времени не приводит к дополнительному вырождению).
5. Исследовать неприводимые копредставления при наличии осевой симметрии
(Coo, Coov).
6. Какие из следующих операторов являются Т-четными и Т-нечетными: (SvS2)(p-r), (r-s), (r-Sl)(r-S2), (pxr)-s?
7. Возможен ли линейный эффект Штарка для систем, обладающих симметрией R3, О, Td ?
92 6. Пространственные группы и их представления
6.1. Определение пространственной группы
Произвольный элемент группы движений трехмерного евклидова пространства можно представить в виде g = tar = (а I г), где ta — трансляция на вектор а, г — простой или зеркальный поворот. Преобразование g называется винтовым вращением, если г — простой поворот, а вектор а параллелен оси поворота, которую в этом случае называют винтовой осью. Скользящее отражение — g = taa, когда а параллельно плоскости отражения (плоскости скольжения). Сопряженные элементы (ср. п. 1.5):
При этом надо иметь в виду, что taa = а (начало вектора а не закреплено). Произведение элементов:
Отметим еще, что поворот с последующей трансляцией на вектор, перпендикулярный оси, является поворотом около параллельной оси:
причем вектор сдвига а' повернут относительно а на угол (л—ср)/2 вокруг оси и, а по величине он равен (<z/2)sec(cp/2). Отражение в плоскости с последующей трансляцией на вектор а, перпендикулярный плоскости, является отражением в плоскости, отстоящей от исходной на а/2. Эти замечания позволяют использовать в стандартном представлении элементов группы движений g = tr множество поворотных элементов г, оставляющих неподвижной выделенную точку (начало координат). Группа движений оказывается полупрямым произведением подгруппы трансляций и ортогональной подгруппы.
Пространственные группы — группы самосовмещений бесконечных идеальных кристаллов; они являются подгруппами группы движений евклидова пространства. Основное свойство пространственных групп — наличие дискретной подгруппы трансляций T= {t„} на вектора a = т\а\ + niiUi + m3a3 (w, — целые числа). T — абелева группа с образующими ta\, ta% tay, она изоморфна векторной группе T= {а}.
gtag 1 = taR(n,y)t_a =R(tan,ф).
(6.1)
(а Д(я,ф)) = Д(я',ф), и'= ta,п,
(6.2)
93 а\, (її, аз — базисные векторы кристаллической решетки, параллелепипед, построенный на них, называется основным параллелепипедом (элементарной ячейкой). Решетка Бравэ — совокупность точек taO (узлов Бравэ), где О — произвольная точка. Простая кристаллическая решетка (один атом на элементарную ячейку) по форме совпадает с решеткой Бравэ; сложную кристаллическую решетку можно рассматривать как состоящую из вдвинутых одна в другую решеток Бравэ.
Произвол в выборе основного параллелепипеда: одно из ребер может быть направлено вдоль любого а є Г, одна грань может лежать в произвольной плоскости, содержащей а и 6 Ф Xa. Объем основного параллелепипеда Qo = |яі(я2хяз)| не зависит от выбора базисных векторов (задача 5).
6.2. Типы решеток Бравэ Точечная группа симметрии К решетки Бравэ (векторной группы Т) — совокупность поворотов и зеркальных поворотов (с центром на некотором узле), совмещающих решетку Бравэ с собой. Необходимое и достаточное условие того, что гє К (условие совместности поворотов и трансляций):
raj = Z fijUi , Гу — целые числа . (6.3)
Инверсия І є К. Возможные оси симметрии К: п = 2,3,4,6. (Действительно, Sp г = l+2cos(27i/n), с другой стороны, согласно (6.3), это должно быть целое число.) Вместе с осью симметрии при п = 3,4,6 группа К содержит и плоскость отражения Ctv (задача 7). Эти замечания ограничивают число возможных групп К семью; кристаллические сингонии (системы векторных групп Т) характеризуются соответствующей группой К: триклинная T (S2), моноклинная M (Сгь), ромбическая (или ортогональная) О (U2h), ромбоэдрическая (или тригональная) R (D3d), тетрагональная (или квадратная) Q (D4J1), гексагональная H (Dgh), кубическая С (Oh).
Однотипные решетки Бравэ относятся к одной сингонии и могут быть получены друг из друга непрерывной деформацией без понижения симметрии. Решетки Бравэ можно получить прямым построением систем узлов в плоскостях, перпендикулярных "главной" оси и проходящих через две ближайшие точки на этой оси, после чего исследуется возможность размещения других плоскостей между этими двумя. Параллельные линии узлов (или плоскости узлов) изоморфны, поскольку могут быть получены друг из друга сдвигом на вектор решетки. Существует 5 типов плоских
