Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Qq = qQ, Qp = -pQ (5.7)
(Т-четные и Т-нечетные операторы). В шредингеровском представлении, в котором оператор координаты соответствует просто умножению, а оператор импульса рх = -ihd/dx, унитарный оператор U в 0 = UK коммутирует с х, рх, т.е., он не зависит ни от координат, ни от импульсов, и, если не учитывать спина, то можно положить
U= I, Q=K 0у = у*. (5.8)
Чтобы установить, как действует U на спиновые координаты, применим соотношение (5.7) ко всем спиновым операторам в обычном представлении (sia = стга/2, і — "номер электрона"). Тогда
USix = -SixU USiz = -SizU, USiy = SiyU. (5.9)
Отсюда с точностью до фазы получаем U = cti_vxct2>,x...xct„>,. Фазу выберем так, чтобы оператор U стал вещественным; тогда (опуская знак прямого умножения)
0 = (-0?^..^, (5.10)
86 и Q2=I (п — четное), 02 = -1 (я — нечетное). (5.11)
Поскольку — z'cjy соответствует повороту на л около оси у в спиновом пространстве, (5.10) можно переписать еще в виде
0 = ?>5<О,7І,О)К (5.12)
Аналогичное выражение:
0 = D(Q7Tifi)K = exp(-i7tJy)K (5.12а)
оказывается удобным при использовании JM -представления. Имея в виду соотношение
Dml(°>я»0) = 8т\-тЫУ~т (ср.(4.26)), можно записать:
QYjUj^JM) = YjUJm *(-1 )J-M\J-M). (5.126)
JM JM
5.3. Определение копредставлений
Перестановочность оператора 0 с операторами пространственных преобразований:
0/ = /0, QD(g)=D(g)Q, geSU(2)(R3), (5.13)
так как 7)(0,л,0)7) *(g) = D(g)D(0,n,0).
Особенность полной группы операторов симметрии квантовомеханической системы, включающей обращение времени, заключается в том, что часть (половина) этих операторов являются антиунитарными:
G0= G+ QG, G = {D(g)}, g — пространственные операции. Правила умножения операторов в группе определяются (5.13) и (5.11), в частности, QD(gi)QD(g2) = -D(gig2), если система содержит нечетное число частиц с полуцелым спином.
Вследствие указанной особенности матрицы операторов Ge не образуют представления этой группы, ибо обычное правило умножения матриц операторов имеет место только для линейных операторов. Для группы Gq:
D(UiU2) = D(Ui)D(U2), D(ua) = D(u)D(a), D(au) = D(a)D*(u),
D(aia2)=D(ai)D*(a2), и є G, а є 0G. (5.14)
Соответствие g —> D(g), при котором матрицы D(g) удовлетворяют уравнениям (5.14), называют копредставлением. Эквивалентные копредставлення:
D(u) = S~l D(u)S, D (a) = S~l D(a)S*. (5.15)
Приводимость и неприводимость определяются как для обычных представлений.
87 Неприводимые копредставления (НКП) могут быть как приводимыми, так и неприводимыми представлениями унитарной подгруппы. Здесь различаются три случая:
1) Если D{u) ос D*(u) = (T1Diu)C, и CC* = D(62) (= +1), то НКП содержит только одно НП Diu) унитарной подгруппы.
гу
2) Если Diu) ос D*iu), и CC* = -ДГ), то НКП содержит Diu) дважды.
3) Если Diu) неэквивалентно D*iu), то НКП содержит D + D*.
Доказательство. Пусть А (и) — НП G наименьшей размерности, содержащееся в НКП; базис А (и) — еі,е2,...,еі. Тогда Qei,...,Qei — базис НП А *(м), а линейная оболочка {єі№} инвариантна относительно всех и,а є Ge. Отсюда сразу вытекает, что, во-первых, возможны только указанные выше три типа разложения НКП по НП G, во-вторых, справедливо третье утверждение. Функции Qe; либо все выражаются через е„ L{ei,Qei} = Ь{єі), либо все линейно независимы с {е,}, поскольку в противном случае имелось бы подпространство меньшей, чем I, размерности (?{е,-,0е,} - L{e,}), инвариантное относительно и є G. Если Be,- = Z Ду(0)е7, то А*(и) = Z)_1(0)A(m)Z)(0), т.е., с точностью до фазы С = D(B), и CC* = Z)(0)Z)*(0) = DiQ ). Если бе,- независимы от ег, то в
базисе {єьВєі} матрицы НКП D(6) =
^O А(02)Л
1
0
^A (м) 0 4
0 А * (и)
, а в базисе
Л —1
Iei, С Ge1-} м
'А(м) 0 0 Д(н)
,е
Ґ 7 * \
0 А(0 )С *
DiQ) =
ґ л \ о С
с о
,Diu) =
. Допуская, что CC* = А(0 ), получим но такая матрица может быть приведена ортогональным
С
0
преобразованием S =
ґ ^E -J-
л/2 л/2
л/2 л/2 .
, не меняющим вида D(w), и мы возвращаемся к
случаю 1). Если же CC* = -А(0 ), то D(B)
Ґ „ 0 -С
с о
, и она может быть приведена
только при помощи комплексной матрицы S, и условие эквивалентности (5.15) при этом не будет удовлетворяться. Как видно, типы НКП полностью определяются свойствами неприводимых унитарных представлений.
88 5.4. Теорема Крамерса
гу
Теорема Крамерса утверждает, что, если 0 =-1, HQ = QH, то каждый уровень энергии по крайней мере двукратно вырожден. Теорема вытекает из соотношений
(\|/№ 6\|/„) = (0 V„, 0\|/„) = ~(\\1п, 0\|/„) = 0.
гу
Состояния и 0\|/ при 0 = -1 называются крамерсово-сопряженными состояниями. Для Т-четных (q) и Т-нечетных (р) операторов:
(\|/, qQ\\f) = 0, (\|/, q\\l) = (0\|/, qQ\\l), (\|/,/Д|/) = ~(Q\\l, pQ\\l). (5.16)
5.5. Правила отбора матричных элементов, связанные с обращением времени
Рассмотрим "диагональный" матричный элемент (на функциях, относящихся к
одному уровню): Yikj- = причем Га ос Га*. Как мы видели в п. 3.4, при
