Теплофизические свойства двуокиси углерода - Алтунин В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Прямой метод построения интерполяционного уравнения состояния. В нашем случае функциональная связь задается уравнением 2 = ,г(д, Г, 6^), а постоянные {Ьц} определяют из условия, что сумма квадратов невязок (квадратичный функционал)
5 = 2 2 К
.(Ра, Тк)-гл[рк9 Тк, Ьц)\*
(1.15)
должна иметь минимальное значение применительно к уравнению состояния (1.12).
Для совокупности N экспериментальных точек при заданном наборе значений г — 5 сумма (1.15) будет иметь вид
5=3
где для к-и точки вес 2л = 1 чо , относительная погреш-
2.
1
2 2»</?
1=\/=о тл
(1.16)
(5*2*)2
ность 6ь. Условие минимума для (1.16), записанное в виде
^ = 0
приводит к следующей системе нормальных уравнений, линейных относительно искомых {Ь{у}:
n
3°»
*=1
2*.
1.
(1.17)
,2, г; (3 = 0, 1, 2, 5ь
Система (1.17) обычно содержит 20—30 неизвестных параметров и ее решение возможно лишь при использовании ЭЦВМ. К настоящему времени для ЭЦВМ созданы библиотеки стандартных программ, которые предусматривают решение линейных и нелинейных систем алгебраических уравнений.
В [1.25, 1.27] был предложен алгоритм автоматического поиска оптимального набора параметров {Ьц} уравнения (1.12), основные положения которого иллюстрируются блок-схемой, показанной на рис. 1.
При корректно сформулированной задаче, когда веса опытных точек назначены правильно и уравнение с заданным набором параметров т способно описать исходную совокупность N экспериментальных точек, минимальное значение функционала ДОЛЖНО бЫТЬ 5т1П« (ЛГ — ш) .
23
Формирование таблицы информации г- s
*- —
Л-
/v—/77 = вщ-щ I
Рассмотренная выше методика была использована в 1965 К Вукаловичем, Алтуниным и Спиридоновым для построение уравнения состояния газообразной С02 [1.25]. Позднее Алту-нин и Спиридонов (1967 г.) применили подобную технику поиска при построении уравнений состояния Аг, Кг, Хе и воздуха, охватывающих газовую фазу от Тн.т.к. до 1300 К при давлениях до 1000 бар (см. [1.10, 1.28, 1.29, 1.30]. Качество аппроксимации во всех случаях было хорошим, а число коэффициентов в уравнениях не превышало 25. Но для построения более сложных уравнений (га>25— 30) указанная программа* оказалась непригодной.
Основная трудность применения метода наименьших квадратов в рассматриваемой задаче аппроксимации связана с решением алгебраических систем уравнений высокого порядка. Известно, что матрица коэффициентов нормальной системы является, вообще говоря, плохо обусловленной и точность расчета в значительной мере зависит от метода обращения матрицы. При однопараметрической аппроксимации и малом числе констант (га ^ 10—15) эта особенность проявляется, как правило, незначительно. Однако положение резко изменяется, если требуется отыскать аппроксимирующую зависимость от нескольких переменных и к тому же с большим числом констант (га > 25 — 30). С целью выбора оптимального метода обращения матриц высокого порядка, возникающих при построении уравнения состояния вида (1.12), Гадецким и Спиридоновым (1968 г.) выполнено специальное исследование рекомендуемых в литературе методов решения алгебраических систем. К их числу относятся [1.22]: метод Гаусса с выборкой главного элемента по матрице, метод квадратного
\
п \ в зону чп ] накопления
Л
Преобразование таблицы _информации г-б
Отыскание вт1п \-
Рис. 1. Блок-схема программы прямого метода построения уравнения состояния по методике [1.25]
* Программа, реализующая описанный выше алгоритм, составлена в действительных адресах ЭЦВМ М-20 и приведена в диссертации г. А Спиридонова (МЭИ, 1968 г.).
24
^Ьрнл, метод ортогонализации, метод сопряженных градиентов, метод отражения, метод вращения.
В качестве меры приближения, как и прежде, принят остаточный квадратичный функционал по (1.16), а для оценки погрешности обращения матрицы — модуль вектора невязок:
! И1 =У2Н2ЗДу-В'о/о)2/2В?о/о, (1.18)
* 'о/о
ГДе 5г/ = 2^+'"/Ч0+/";
к
Оказалось, что при аппроксимации уравнениями вида {1.12), из рассмотренных семи методов обращения матриц наиболее приемлемым является метод Гаусса с выборкой главного элемента по матрице. Методы квадратного корня и ортогонализации, которые в математической литературе считаются наилучшими, обладают значительной неустойчивостью и часто вызывают аварийную остановку машины. Детерминант матрицы, вычисленный другими методами, оказывается соизмеримым с машинным нулем и поэтому для решения возникающих здесь систем нормальных уравнений методы сопряженных градиентов, отражения и вращения вообще не могут быть использованы.
В [1.2] показано, что при га>30 монотонное уменьшение ? и с ростом т нарушается и часто даже несущественное изменение структуры уравнения приводит к весьма значительным колебаниям величины 5. Точность решения системы, как правило, не соответствует качеству приближения. Причину указанной неустойчивости следует искать не только в ошибках округления при линейных преобразованиях, но и в погрешностях вычисления матричных элементов и вектора свободных членов (о чем можно судить по величине |И|). Простые оценки показывают, что, например, область, где @<0,8 и — <С®,7>
