Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
постоянной при Im &>0; в противном случае по теореме Лиувилля она сама
была бы константой. Таким образом, даже малая вариация исходных данных
радикально меняет аналитические свойства f(k) при Im&>0.
По аналогичным соображениям функция f(k) при Im&>0 нестабильна
относительно изменения потенциала. Следовательно, если мы хотим
аналитически продолжить f(k), исходя из экспериментальных данных, то для
перехода в нефизическую область понадобится экстраординарная точность
опытов.
§ 6. Неравенство Баргмана
Теорема Левинсона (5.37) связывает число рсвязанных состояний, обладающих
заданным (физическим) угловым моментом /=%-7г, со сдвигом фазы при
нулевой энергии. Следовательно, значение р% можно найти из рассмотрения
уравнения для парциальных волн при &=0.
Пусть Фх=ф(Я, 0, х)\ если х очень велико и если нет связанных состояний с
нулевой энергией [т. е.
7*
too
Гл. 7. Интерпретация полюсов S (Я, k)
f(K, 0) =?0], то следует ожидать, что lim *-*-'/" Фк = Ск,
ЛГ-*00
где Ск- не равная нулю постоянная. Случай/(Я, 0) =0 требует особого
рассмотрения, за которым отсылаем читателя к оригинальной статье Баргмана
[4].
Покажем, что
оо
p,<±jx\V(x)\dx. (7.17)
о
Это так называемое неравенство Баргмана.
Прежде всего отметим, что достаточно установить справедливость
неравенства (7.17) для чистого притяжения. Действительно, любой потенциал
V(x) можно заменить потенциалом -W(л:) с большим притяжением,
определяемым следующим образом:
W(x) = - V (х) при V (х) < О,
W{x) = 0 при V (л:) > 0.
Это объясняется тем, что число возможных связанных состояний может при
этом только увеличиться. Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 1. Пусть рк - число связанных состояний с угловым моментом 1-Х -
'/г, генерируемых потенциалом -U7(x)^0. Тогда рк будет также числом узлов
волновой функции с нулевой энергией в интервале 0<х оо. Значение Ск =0
будем интерпретировать как узел на бесконечности и одновременно как
связанное состояние системы с нулевой энергией связи. Заменим W(x) на
т|И7(.с), где 0^т|^ 1, и обозначим через рк (т|) соответствующее число
связанных состояний. Функция рк (г]) будет, очевидно, возрастающей
функцией т], причем /?х(0)=0 и рк(1)=рк. Энергия связи -Еп п-го
связанного состояния - также возрастающая функция г), что легко усмотреть
из тождества [<р = ф(А, kn, х)]
§ 6. Неравенство Баргмана
101
интегрирование которого от нуля до бесконечности дает
ОО
J Wy2dx
дЕп _2____________^ л
дц ~ со ^и*
| q>2 dx
*)
О
При уменьшении л энергия связи связанного состояния убывает до нуля, где
Сх = 0. Дальнейшее уменьшение К приводит к исчезновению данного
связанного состояния с уменьшением /д(л) на единицу. Обозначим через
<7*(л) число узлов функции ФДх, л), являющейся регулярным решением
уравнения
ф1(*. Л)~ ^7"'/4 (•*¦ л) = - y\W<&x(x, л)- (7.18)
Пусть а (л) и 6 (л)-положения смежных узлов ФЛ (х, л). Так как ФЛИл),
л]=ф* (л). л] = 0, т0 дФ>, (х, л)
дх
- дФ^Х'1l) I . (7.19)
х=а dr\ dr] \х=а ' >
Аналогичное равенство справедливо и при х - Ь.
Из (7.18) и тождества
дф?(-у, л) а,2 -'А дФл(.г, л) _ dr] х2 dr]
= - Л- wox(x, Л)
получаем
""*. ч)= "W*. ")]>.
(7.20)
Проинтегрируем далее (7.20) в интервале а^,х^Ь. Используя (7.19), находим
[<*<". п>Г?-К(*. л)]2^-=
ь
= J W(x) [Ф* (JC, Л)]2 dx > 0. (7.21)
102
Гл. 7. Интерпретация полюсов S (X, к)
Пусть узлы пронумерованы как vi, ..., vg в возрастающем порядке и vo = 0.
Аналогично, кроме неравенства (7.21), имеем
К(VI, Л)]2^ = - jV(*)[<M*, л)]2<0. (7.22)
Следовательно, dvi/dr\<0. Полагая a=v*, b = \i+l, из
(7.21) легко находим, что если dvi/dr\<0, то и flfvj+i/dr|<0, откуда
для всех узлов dvi/dr\<0. При убывании величины г] функция ^(л) может
только убывать, причем такое поведение имеет место при vg, стремящемся к
бесконечности, и, конечно, 6^=0. Разность qx (г))-Ря('П) будет,
следовательно, постоянной, так как обе функции ступенчато убывают на
единицу при одних и тех же значениях тр Положив г] = 0, находим, что
величина этой постоянной равна нулю, что доказывает теорему 1.
Аналогичная техника доказательства неравенства Баргмана была применена
Швингером [93]. Исходным пунктом у него было то, что связанное состояние
при ?' = 0 с потенциалом -t\W(x) удовлетворяет уравнению типа Фредгольма
со
<р(Х, 0, л:) = г| J Lx(x, y)W(y)(p(X, 0, y)dy, о
где
| хх+'Ьу-к^ при х < у,
2XLk(x, у) | х-х+у2уК+у1 ПрИ у<^х
Число связанных состояний рх совпадает с полным числом связанных
состояний с нулевой энергией, получающихся при изменении т] в (7.23) в
интервале 0-<г]-^1, и, следовательно, равно числу собственных значений
r)g, <7=1....р>,, при 0<ri< 1.
$ 6. Неравенство Баргмана
№
Так как Щл:)-> О, можно ввести
мк{х, у) = ywjx) УЩу)М*. У),
Ф(х) = УЩл)ф(Я" О, X),
со
= J y)^f(y)dy.
о
Обратные величины собственных значений симметрического вещественного
неотрицательного ядра М являются характеристиками значений "силы
потенциала", при которых появляются новые связанные состояния.
Следовательно,
