Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
W + I*l*/ \ 1 + 1Л1 у)
причем С, вообще говоря, зависит от X. Из приведенного неравенства
следует оценка сверху для суммы итерационного разложения <р(Я, k, х) при
р>0:
ОО
q>(Vк, х)= 21ф"(Я-, k, х)>
п =0
х
Ф"(Я,, k, х)= J G(X, к, х, y)V(y) фя_! (Л-, к, y)dy. о
Действительно, не представляет труда доказать по индукции, что
г> /г\_ f y\V(y)\dy о
Соответственно
|ф(Я, k, х) - ф0(Я, k, х)| <
<^*|'(ттшгр1'с''и-11-
В пределе при |&|->оо имеем
|ф(Я, k, л:) - ф0(Я, k, л:)| = о(е[Ь\х). (3.30)
Действительно,
со а со
ЛW = J fТШ7аУ<\у\У{у)^у+щ\\У(у)\dy.
0 0 а
40
Гл. 3. Решетя с граничными условиями при х=0
Второй интеграл стремится к нулю, когда |?|->оо, и мы можем записать, что
а
P^xX j y)V(y)\dy + 0(±-).
о
Интеграл в последнем неравенстве может быть сделан сколь угодно малым;
поэтому
lim Р](л:) = 0,
| к | •> оо
откуда непосредственно вытекает равенство (3.30).
ГЛАВА 4
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА
БЕСКОНЕЧНОСТИ
§ 1. Интегральные уравнения для решения Иоста
При обсуждении решений при больших х будем исходить из укороченного
уравнения
ф* + ЛЛ|> = 0.
Это уравнение получается из (3.6) при пренебрежении потепциалом и
центробежным барьером. Его решения имеют вид
ф = ikx -\-$elkjc.
Так же, как и в предыдущей главе, использование укороченного уравнения
оказывается полезным для предварительного исследования свойств решений
полного уравнения. Будем искать решение /(A,, k, х) уравнения (3.6)
(называемое в дальнейшем решением Иоста) со следующим асимптотическим
поведением:
Иш eikxf(X, k, jc) = 1. (4.1)
jr ->• оо
При V(x)=0 такое решение (3.6) имеет вид [f(A., k, -X)\y(X)=Q - fo (^, ki
х) =
_ <*•+ '/*> И0) (4 2)
де H\(kx) - функция Ганкеля второго рода [7]. Так же, как и в гл. 3,
используем метод вариации постоянных, исходя из выражения
/(X, k, х) - а (л) /о (Я., k, x)-\-$(x)f0(X, -k, х).
42 Гл. 4. Решения с граничными условиями на бесконечности
При этом получаем f(X, k, x) = f0(X, k, лг) +
СО
+ J Д(Л, k, х, y)V(y)f(X, k, y)dy, (4.3)
X
В (X, k, x, y) - -^\fQ{X, k, y)fo(X, -k, *) - - f0(X,.k,x)f0(X,-k,y)].
Нам нужно получить достаточно удобную оценку для ядра В(Х, k, х, у). Как
показано в приложении I, если кфО, то при всяком X=p+ia имеют место
следующие неравенства:
If0(x, k, л,)|<(-1^Ш^)'"1|+,/>,
IВ(Х, k, х, у)\< (4.4)
. . / и \ I jx I + Vs / х \-|Ц| + '/2
< Сёь\v+bx\ --------1 (-± I
w + mw u + rnP
где у > х, b = lmk и С - по-прежнему постоянная, зависящая от X. С
помощью (4.4) оказывается возможным установить оценку сверху членов
итерационного разложения
оо
f(X, ks х) - 2 fn(K k, *),
п =0
где
00
f"(X, k, х) = J* В(Х, k, х, y)V(y)fn-i(X, k, y)dy.
X
Нетрудно проверить по индукции, что
(4.5)
Q{x)=\^"^>yf^ydy.
X
§ 1. Интегральные уравнения для решения Иоста 43
Пусть
ОО
| x\V(x)\dx < М < оэ.
о
Из (4;5) следует, что члены итерационного ряда мажорируются
соответствующими членами разложения экспоненты и, следовательно, этот ряд
сходится всюду, где Q(x) конечно. Величина Q(x) заведомо конечна, если Ь
< О, поскольку тогда экспонента ехр [(|&| +Ь)у] не дает вклада в
подынтегральное выражение (4.5) и Q(x) < М. Если b > 0 и существует такое
т, что при v < пг
то Q (х) будет, очевидно, конечной при Ъ < т/2.
Для доказательства аналитичности f{X,k,x) относительно k достаточно
показать, что каждый член fn(X,k,x) является аналитической функцией k
(поскольку соответствующий ряд сходится равномерно), или же что
последовательность производных по k также сходится равномерно и
непрерывна по k. Мы не будем приводить здесь детального доказательства, а
лишь приведем его результат: / (X, k, х) является аналитической функцией
k при Ъ < т/2, за исключением точки &=0. Если т = 0, то функция f(X,k,x)
непрерывна на вещественной оси. Если условие (4.6) имеет место при любом
v, то единственной конечной сингулярностью будет сингулярность в точке
k=Q (см: [91] и гл. 5, § 7, настоящей книги).
Из приведенного рассмотрения следует далее, что при j k | -ОО
ОО
(4.6)
о
f{X, k, x) = a(x)e-tllx-\-${x)e{llx,
44 Гл. 4. Решения С граничными условиями на бесконечности
то соответствующее интегральное уравнение примет вид
/(Я, k, +
ОО
+1 | sin k {у - х) [к (у) + / (Я, k, у) dy> (4.8)
X
Уравнение (4.8) можно исследовать так же, как уравнение (4.3). При этом
вместо (4.5) получаем1)
ОО
/(Я, k, х) = 2gn(^ k, х), g0(X, k, x) = e~ikx,
. /i=о
ga(X, k, x) =
CO
= 1 J sin k(y-x) [v.(y>+ ^1/4] g"-i(K k, y) dy, ^4 9)
Ign(l, k, x)l <eb* ¦[CQ'n(*)]n ,
OQ
Q. W = f IV(у) + |.- У-- e(i *:i+*>,, dy.
X
По сравнению с предыдущим последний способ рассмотрения позволяет
получить меньшую информацию относительно зависимости от переменной k,
однако выяснение области аналитичности относительно Я оказывается с его
помощью более простым. Действительно, из (4.9) видно, что f{k,k,x)
представляется в виде равномерно сходящегося ряда полиномов относительно
Я2 и, следовательно, является целой функцией Я, причем f(%,k,x)=f{-
