Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
а) у = 3 Рл+з) ) б) у = лок (Вгосг- У Sx
в) У = а 3vtz •
100. Частица массы т и заряда <? движется по npt
tTT
MOlIl наклоненной к силе тяжести под углом у- . В некотор-, точке указанной прямой закреплен одноименный заряд , к<" торый препятствует неограниченному падению частицы. Опреде лить частоту малых колебаний частицы вблизи ее равновесног положения.
101. Взаимодействие двух частиц с массами и свободном пространстве описывается потенциальной энергии U- В , где о >0 , а г~ расстояние между частицами. Сч;. тая момент M частиц отличным от нуля, найти частоту малы радиальных колебаний.
102. Невесомые пружины с коэффициентом жесткости /¦• и к2 расположены на вертикальной прямой» параллельной сил тяжести. Одним концом пружины прикреплены к материальна точке с массой m , а их противоположные концы закреплень В начальный момент времени t-0 материальная точка поко. илась, а пружины были не натянуты. Найти малые колебалі. системы.
103. Упругая струна длины F натянута силой Fq расположена перпендикулярно силе тяжести. На середине струн' прикреплена материальная точка с массой т г которая в на чальный момент времени t=-0 была отклонена от положена равновесия на расстояние ^z0 и покоилась. Найти малые гар монические колебания материальной точки, пренебрегая массо струны и изменением ее начального натяжения.
24 104. Нижний конец маятника длины С и массы т. прикреплен к середине тонкой пружины с коэффициентом жесткости 2 , которая имеет форму полуокружности радиуса
с центром в точке подвеса маятника и лежит в плоскости колебания. В положении равновесия пружина не натянута. Определить малые колебания маятника в поле тяжести, если в начальный момент времени ? — О он был отклонен от вертикального положения равновесия на угол (^d и покоился.
105. К свободному концу плоского маятника длины и
массы конец
ггг прикреплена невесомая пружина длины е.
р.
Рис. 2. жении лой
времени
к
Другой
этой пружины закреплен в точке, лежащей на вертикальной равновесной прямой ниже маятника (рис. 2). Когда маятник занимает вертикальное положение, пружина натянута силой F Определить гармонические колебания маятника в поле тяжести, если в начальный момент времени t~0 он был отклонен на малый угол <ро и покоился. Изменением натяжения пружины при колебании пренебречь.
106. Один конец невесомой пружины закреплен, а другой прикреплен к материальной точке с массой л-z , которая может перемещаться по прямой, перпендикулярной равновесному положению пружины (рис. 3). В поло-равновесия пружина имеет длину 6' и натянута си— . Найти малые колебания, если в начальный момент
t = 0
материальная течка находилась в положении равновесия и имела скорость V0 . Из*» менением натяжения пружины при колебании пренебречь.
107. К свободному концу невесомой пружины с коэффициентом жесткости к прикреплена материальная точка массы m , которая может перемещаться по прямой, перпендикулярной равновесному положению пружины (см. рис. 3). В положение равновесия пружина имеет длину f и не натянута. Найти малые колебания материальной точки, если в начальный момент времени І - О она была отклонена от положения равновесия на расстояние X0 и покоилась. Ответ представить в виде интеграла.
25
Рис. 3 108. В начальный момент времени t=0 частица массы гтг находилась в положении равновесия и имела скорость V0 , направленную вдоль оси Я . Найти малью колебания, если внешнее потенциальное поле имеет вид
U0 а2зсг при
г* г U о JO с
зс > O1 при JC ^ О .
109. Плоский маятник длины С и массы т, совершает колебания в вертикальной плоскости XY . Причем его точка подвеса с координатами JC0 и у0 колеблется вдоль горизонтальной прямой X0= const по заданному закону ^acosSXt, Найти малые колебания плоского маятника, если в начальный момент времени t = О он был отклонен от вертикали на угол
fP0 и покоился.
110. Одномерный осциллятор с массой и частотой о00 до начального момента времени t=0 покоился в равновесном положении. Найти его закон движения, если в начальный мо— мент времени включается сила F=f F , где Є - постоянный единичный вектор, a F имеет вид:
а)
б)
в)
г)
F = Fo г)'>
F=F0 ch с
-at
F = Fe
$?П uL>{ ]
F=
J
Fn COS <JU01 при
О
при
uiO
гяг
с t
Г F
о
д) F~<
при 0 ^ Г ^ 4>л
X
ПР"
О при
JC CjO.
CO^
О —о
COn — 1 7
е)
F =
Fq при „0 при
O^i + Г, T^t.
26 111. Первоначально покоившийся в равновесном положении одномерный осциллятор с^массой т частотой со0 подвергся действию силы F= ? F , где в - постоянный единичный вектор. Определить энергию <5 , приобретенную осциллятором за все время ^t« действия силы, если:
-4 Z2F
a) F=Fae ** ; б) -
112. Один конец пружины с коэффициентом жесткости 1< совершает продольные колебания по закону ^co= a co5(a>t-+oc)0
а к другому концу с координатой сс прикреплена материальная точка массы t которая может перемешаться только вдоль оси X » совпадающей с осью пружины. Определить установившиеся колебания материальной точки при наличии силы трения /=-4*^ Тл . ^
