Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
32. Прямая прецессирует с постоянной угловой скоростью со , составляя угол 9 с направлением силы тяжести. В начальный момент времени t-0 на этой прямой покоилась материальная точка на расстоянии 6 от неподвижного центра. В последующее время она движется вдоль прецессирующей прямой. Определить характер этого движения, если в начальный момент времени материальная точка находилась: а) выше неподвижного центра; б) ниже него.
33. Определить закон движения материальной точки на вертикальной плоскости, которая вращается около оси Z декартовой системы координат с постоянной угловой скоростью сО . Ссь Z антипараллельна силе тяжести. В начальный момент времени t~0 материальная точка имела скорость ^ и находилась на оси Л на расстоянии ? =¦ V /со от начала координат. '
11 34. Определить закон движения материальной точки на расширяющейся цилиндрической поверхности радиуса R=R0chat , ось которой параллельна силе тяжести и служит осью Z декартовой системы координат» В начальный момент времени / = O материальная точка имела скорость Z^. и находилась на оси Л" на расстоянии R от начала координат.
35. Электрон с массой т. и зарядом^є влетает в полупространство, в котором напряженность Є электрического поля однородна, постоянна и перпендикулярна граничной плоскости. Начальная скорость составляет острый угол с*: с вектором . Определить время і движения электрона во внешнем электрическом поле, а также глубину 6 проникновения в это поле.
36. Скорость Z^0 протона в начальнь й момент времени составляла острый угол ы. с напряженностью И внешнего постоянного однородного магнитного поля. Найти число оборотов /V } которые совершит протон, пролетев большое расстояние
/ вдоль магнитного поля. Масса и заряд протона равны соответственно т е
37. По заданной функции Лагранжа L* и начальным условиям при ? ~0 определить характер движения механической системы двумя способами: решением уравнения Лагранжа и при помощи закона сохранения энергии. Рассмотреть следующие случаи:
а) L = <f2-4<f-4<j*7 у(0) = 0 з
б) ^=-*}2-2?+2*}2)*^°!='!, f (O) = O)
в) L = + J(O) = O1 ?(0)= Т.
38. Функция Лагранжа L и начальные условия при t = О заданы. Пользуясь законом сохранения энергии, определить обобщенную координату^- ^(t) и убедиться непосредственной подстановкой, что найденная функция Cjr [i) удовлетворяет уравнению Лагранжа в следующих случаях:
а) / = ? (O)=I7 ?(0)=0;
б) cf(u) = ?(0)= О .
12 функция Лагранжа L
но: -2 ,
а) L
б) І3
в) L= Ь - - г с
г) L--Yf
" 2
L-^r-t
і
L--Y'-?2-fJ ; f (o)^0} ?(0)=0,
40. Частица с массой /rz и энергией ? движется по оси X в одномерном потенциальном поле IfCx). Определить характер движения je ~x(t) , если:
а) IT(X)=-Zf0^ •> МО) АіЩ^> X(O)=O (Uo>0);
° CL vuO
_
б) U(X)=Ife0-, JC(O)-X0i X(O) = O.
где ио>0 И <Z> О , a JCu- корень уравнения 6 =U(X0)\
X2
JJ при X ^ О.
I (X
в) U(X)..
г
[ ПРИ X^O0
U ^
X(O)=-V^2- , X(O)=O (и}>о,иг>о)-,
. _ / ' Л^
где U0> О , a -^0- наименьший корень уравнения cf- ?/"^0/.
41. Найти закон движения механической системы, которая в обобщенных координатах описывается следующей функцией Лагранжа и начальными условиями при t - О :
а) 1 = } Cp(O)=Oj ф(0) = 1-
13 б) / / • 2 / -/ L'-fj Icptht1 <р(о)- <p (O) - / ;
в) L = - VP-j/^i- р і. f (0)=0-,
Г) , 4 ¦ 2 Jit і . 2 L- ~ Q P ¦/ — a г? rd " Q h t Ґ} h я rZ ski }
^(o! = u, P1LOj = p., (Oj - - -L .
4-2. Найти обобщенные координаты o, L U и lPsUj > дана функция Лагранжа L и начальные условия при --о a <'
именно:
a) L^f7 +i-t.jg 'Jf(G)=.', Pf(O)-^W=Ol
r 2 z.2
Pj У! У і
г> --^^W^= ?,W==/; e) L = -ZrzJf^Jf , W= fc,Л'.?/-Л?/-^, ^
43, В начальный момент времени ? - 0 частица с .мае» сой пі и положительным зарядом с? находилась ъ точке с радиус—вектором и имела скорость г/; . В д-зпьпейшем он. движется ь однородных постояннь'х электрическом и магнитном полях с напряженностями И ft , которые удовлетворяю! условиям
Th =
О и Iz-^H. Определить характер движения за™ ряженной частицы в этих скрещенных полях. Исследовать полученное решение при - - Q .
44, Векторы
T
и H электрического и магнитного полег образуют уітол в . Указанные поля однородны и постоянны, причем E «Н . Определить закон движения частицы с массой пі и зарядом е > О , если в момент времени t ~ О она покоилась в начале декартовой системы координат, у которой ось 2 выбрана вдоль п , а ось У параллельна вектору Й < E .
45, Напряженность H постоянного однородного магнитного поля параллельна поверхности Земли. Определить закон 14 движения протона с массой т и зарядом с' над плоским участком земной поверхности, если в момент времени 6 ~ с он находился в начале декартовой системы координат с осью Л . параллельной силе тяжести. и осыс Z , выбранной вдоль вектора hi . Начальна«.; скорость Ir бьмта перпендикулярна силе тяжести и вектору H .
46. Определить характер движения электрона с массой Pb и зарядом-" в постоянном однородном магнитном поле с на™» пряженностью H и перпендикулярном к нему электрическом поле, которое в декартовой системе координатне осыс Z па™ раллельной вектору H , имеет вид с - о, jr. Єх , где а ~ положительная постоянная и (? - орт оси К „ В момент времени t- О частица находилась в начале координат и имела скорость V= , направленную вдоль осч У' .
