Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Полученные соотношения называются формулами канонического преобразования, a F-F G1^J - производящая функция этого преобразования;
б) чтобы найти производящую функцию Q= Cjr (^7P7 t) , прибавим к обеим частям равенства (3 ) следующее тождество:
? i^a^daj-difjp^j.
тате получим
АіРес^Яс^НИ *h%(bP> i]\dt-dG}
OL= f
где введено обозначение
Будем рассматривать переменные ^ и Pot как независим мне, так как другие величины Poc к Q можно выразить через ^ и р&, при помощи формул преобразования рассматриваемых переменных. Тогда величина
представляет собой полный дифференциал функции G-GP1 І ) . зависящей от переменных ^ , P и t . Приравнивая между собой однотипные члены слева и справа тождества (4), получав-ем формулы канонического преобразования с производящей функцией Q--Giqf P7 t) :
Формулы канонических преобразований о производящей футь кцией, зависящей отр ,Q и t или р s и ? , кахэ* дятся аналогично;
.124 г)
Э<р
S><p
161. Предположим, что данное каноническое преобразование характеризуется производящей функцией F-Ftyy ^,^,удовлетворяющей формулам канонического преобразования р =. ^7 »
P=-
ЭР
Якобиан
<?6Г
ределяется так :
JfaP)
J J ,JnJp aCjrfpI -
^-JlajPldadр> э(а\р)
перехода к новым переменным оп-
?SL ±SL 6>Я эр
эа
эр ЭР
Поскольку с якобианами можно обращаться как с дробями, представим исследуемую величину в виде
э(ЪР)
э(а,р) O(A7P) э(%а) э
Вычислим отдельно числитель и знаї/енат^ель полученной сложной дроби при помощи формул канонического преобразования:
Э f
*(9->Р) =
Hq2P]=
/
Э R
^P Э(к
эа 1 о
а
Эfy
- 9P -~ эа -
в F>
эаэу
V2F
Отсюда видно, что якобиан g ^7 ^Jv перехода к канонически сопряженным переменный равен единице
162. Скобку Пуассона ?A3 } представим как якобиан
ЗА 6>А
в * - ЗА Э & 9A^e
новьгм
'Pf
Эр
эр
э& эв эр
Примем во внимание, что с якобианами можно обращаться как с дробями, и сделаем следующее тождественное преобразование:
__ ^(A1B) э(р7 а)
j(p?f) э (р, а) <? (р0 су)
.125 Множитель . ^ представляет собой якобиан перехо»
да от одних канонически сопряженных переменных к другим, ко~ торый равен единице. Оставшийся якобиан можно записать как скобку Пуассона для величин А и 3 , рассматриваемых как функции переменных P и d ,
Э(А,В) __ ЭА д& _ Э/) _ГA? I
э(р^а)~ эр еа эа <?р I Ipa •
Если учесть предыдущие формулы, то приходим к выводу
163. Скобки Пуассона [ А 3} для любых величин A- A(c^9P7 -, и р^ t) инвариантны относительно канонического преобра-
зования f><p —і[{/!B}pqp НОБЫе канонически со-
пряженные переменные удовлетворяют соотношениям:
[ра}^7; {рр}=оу {аа}-=о.
Эти требования являются необходимым и достаточным условием канонического преобразования.
Проверим выполнимость этих требований ь отношении данного преобразования Cl = Frb I^ р ) и P- -fyP^fy „ Положим А ~Р и O^Q и вычислим скобки Пуассона, составленные из величин P и Ci , пользуясь инвариантностью скобок Пуассона относительно указанного преобразования,
<эР ?>Р
(pal =\ра\ =
I Ipq І >р<р
эр Э Cjs
эр Э Cf I
WAiea={pa} ^ {аа}ра = (аа}р^о.
Полученные результаты доказывают, что данное преобра-зование является каноническим.
164. CL-IlpeV^P = Ire-9)'*.
165.
166. а) fr=(^fa)P7' б) Cr=p~p+(p*p)o>fh
в)
г) Q ^ ir"(?-/ri SlV)
.126 167. G = ZVfrP.
168. а) Ж= OOP^ P = Qy Q = cO*7
б) JeLcoG(UP2)7 Р=-бй(1 + рг)1а=2бО(1Р>
169' ^li^l^-l^r'icosvvl.
170. X=f(zcJ)7 P= ^ ^ G=PHxJ)*
ЭХ
т. &=f>p-H<i,t).
§ 13
172. af+j ^2^ j^-2m2<l RiCosG dB?
где S и p - постоянные интегрирования, а полярная ось сферической системы координат антипараллельна силе тяжести;
6) ^^f-^-Zm^rcoseiJ^
где о и р^ — постоянные интегрирования;
В) S~-Si+Pv4>*j)l«-Jfe-Sfnacese JOt
iIy2^ S- ? 'dr,
где ь , P^ и оС - постоянные интегрирования, а полярная ось сферической системы координат выбрана вдоль вектора ^T .
L „ __
[ґтуСО^І 127
a= ^ (Ы"С5іП Т/__—,~ґ> 7 + (-^7^} ^ л' /7г СО
2
174- -' -H Щсо ]/7. >п*\х)
І- о-гшп (Щсо(^0ЩіРгу +p^-ie^gL )t,
ЄН C P
где GO=JrT^ и ZC0=-^Tjf , а величины S7 ,P^ vi P3 являются независимыми постоянными интегрирования.
175. t=* fef1* ~Х°>г'
СО
+ CLrCStn .2
Jlt-
где OD - ^r и dc0-^jf+ff^-) а величины at ^ E1 И p5 являются независимыми постоянными интегрирования.
Ta^5TTl Л- №
176. a^ ^.S^^.^fdr,
P2
*Рг
где СО— и /t - ^c, а величины Sr , а> и р. - произ-т С о 7 ' 'г ' 3
вольные постоянные.
Cf ЭО _ о> у, •
111' SCim-Ш ZcLmU
1S . , }
% эра эы1
СIctrnZt п=7 ThSoemSOn Zotrri Zi1 эрп 9cCm
= &Х і
ЭоСт ^oLm 17 8. Составляем функцию Гамильтона
ж
7 ( ? «? ) / ^ -г?
2 т \ эс ( у J 2 т
и уравнение Гамильтона - Якоби
at
.128
Поскольку энергия S , а также проекции Pcc=sP1 ж Py-P импульса частицы на оси Л и К сохраняются, полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби ищем в виде
где f(z) - неизвестная функция. Чтобы найти f(E-), подставим искомое решение (1) в уравнение Гамильтона - Якоби. Тогда получим і ( г 2\ / / Л-С
