Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Первое из них преобразуем так:
Откуда получаем закон изменения обобщенной координаты у-= -a, $in(u)t. *оС) * Cj , где Cj- щэоизвольная постоянная. Оставшееся уравнение Гамильтона _*_/>=•? с учетом P » С\ при—
ПЪ і С
водит к выражению z = —— + С , содержащему произвольные
уч л ГГЪ Ч
постоянные C0 и С, .
Z ч
Выпишем найденные выше решения уравнений Гамильтона:
Px=-mau)sin(u)tC1 , = ,
с С С
х^а cas(u)i +оС) * -^jj- , Cif
где произвольные постоянные C1 , Cg , Cj t C^ t а. и определяются из начальных условий.
§ 11
149. Если величины Mjc и My - интегралы движения, то скобки Пуассона для этих величин (Mx-Myj также являются интегралом движения, тcqtzst (теорема Пуассона). Таким образомJ чтобы получить новый интеграл движения, необходимо вычислить скобки Пуассона //VL Mu ) = E! JyJliL. „ 120 1 ' Э/inr Э г/I
fU )
— J , где приняты обозначения ее.— х , ^cp = у
OCrat = Z и аналогично для проекций импульса. Вьнисляя про«» изводные по координатам и проекциям импульса от величин MaTX2P3t-^c3P2 и My -X3 р7 -X1P3} находим [MxM^j-Mг . Следовательно, новый интеграл движения имеет вид Mg-Cost . Заметим, что для механической системы с конечным числом степеней свободы количество независимых интегралов движения ограничено. Поэтому интеграл движения, полученный при помощи скобок Пуассона, является или новым интегралом движения, или функцией исходных, или числовой константой.
150. Для удобства запишем сС-іс проекции:- векторного произведения векторов Fr и р в виде (r~- FJ0C r^ Pf » где ^otp-fi - совершенно антисимметричный единичный псевдотензор третьего ранга. По дважды повторяющимся векторным и тензорным индексам предполагается суммирование от 1 до 3, а знак суммы опускается. В принятых обозначениях имеем
-- V V (ХЯ' % XpbPr IxSxjM= - .
Скобки Пуассона ?Moi р J вычисляются аналогично//Y,/" J-^piBY1 Py ' При вычислении оставшейся скобки Пуассона (/Yoc /у } слеДует использовать полученные выше результаты и свойства тензора Є^^ ^ , а дал енно:
{"* »shbsrlw. Ыр, "A+Pt{y ",}) -
~ e^Pt ЄРУҐ ЛР,рГ* е*>Г ej*?'v PctTxCiPjf -
151. ifTfH^ar) з:) ІЩІ,
{ff}'yradf, {vF;
б) (п^рГ} = -п(сСрГ'сГ, {г, рг"} =-2пр«м>?,
121 ^[(SM)7 (rpjj =0, {(3-^1,(??! f\=(crt)f+(fcllZ}rad)f,
¦угри tV эрв!
ос J ГУ
и,} --vr ft. w ¦ч т ^
157.
«*• V?fc- ^4 A4 С? - f Щ;
^ (? 9 / - ^ (?- -?; •
§ 12
160. а) Преобразование от старых переменных и /э^ к новым Cloi и Pol вида
называется каноническим, если новые переменные также удовлетворяют уравнениям Гамильтона, независимо от строения гамильтониана. Здесь К - число степеней свободы. Чтобы найти условие, при котором преобразование к новым переменив м является каноническим, воспользуемся тем, что уравнения Гамильтона можно получить из принципа наименьшего действия. Из всех кинематически возможных движений, совершаемых механической системой за один и тот же промежуток времени между фиксированными положениями, реальное движение отличается тем, что для него вариация действия равна нулю: ?г„ к
122 ^7
*/ Ш,^" 'Л tWt ^ (1} где <f€(<fr,pyt) - гамильтониан механической системы, a ^ и р -вся совокупность переменных ^ и при .. ,/С , причем
^ioS^l^^foC (^zj-Q • Отсюда вытекают уравнения Гамильтона для независимых переменных и .
Чтобы новые переменные Q^c и P^ также удовлетворяли уравнениям Гамильтона, необходимо выполнение аналогичного равенства, записанного в этих переменных. По виду оно может отличаться от предыдущего (1) только произвольным постоянным множителем С , а именно:
J /С
W" e[f Pac Sot- SfC1Ial Pj t)}dt - О, ! tj
где Ж J JPy t J - функция Гамильтона той же механической системы в новых переменных, a ^ и P обозначают совокупность переменных (Xol и при /С , причем(TQtJtjj-- ) ~ О . Наличие произвольного множителя С является следствием неоднозначности определения функции Лагранжа, которая входит в выражение для действия, когда оно рассматривается как функционал относительно обобщенных координат и скоростей. В дальнейшем для простоты положим С-7 , сузив тем самым класс рассматриваемых канонических преобразований. В это^м случае для новых переменных имеем соотношение
^(gtt* 'MtiiJt = O. <2!
Вытекающие из принципа наименьшего действия уравнения Гамильтона в переменных Cf и р не меняются, если к подынтегральному выражению в (1) прибавить полную производную по
времени ^^jf1 ^ 0^ произвольной функции Ff=Fjlfyt) координат ^ и времени t . Аналогично уравнения Гамильтона в переменных @ и P не изменятся, если к подынтегральному выражению в (2) прибавить A^kl^jtAL- , гд^ Fz=F2((lft) -
произвольная функция. Поэтому можно заключить, что разность подынтегральных выражений в (1) и (2) равна полной производной по времени от некоторой функции F-V (fy) :
Л fc <&+*'(*, ^ V-Xih Mh dF4f'i} ¦
Умножим обе части этого равенства на dt , чтобы получить связь между дифференциалами:
JjfaefIc-ZeftU+M*' t)-x(hp,t)}dt=dF(ha,t}. (з)
123 Переменные и Gioc возьмем в качестве независимых, так как величины р^ и Poc можно выразить через ^gi и Gioc при помощи исходных формул преобразования рассматриваемых переменных. Поскольку равенство (3) выполняется тождественно при любых значениях f и независимых переменных ^aL и ^oL * отсюда находим
