Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
26 Решения задач
скоростью с высоты H необходимо время t = ^2 Hfg , определим искомое расстояние:
, .. MV Ї2Н „„„
L = V0I =- -= 800 м.
т \ g
4. При рытье колодца глубиной х работа по выемке грунта на поверхность Земли равна изменению потенциальной энергии этого грунта:
А =0,5 mg:с,
т.к. центр тяжести этого грунта изначально находится на расстоянии 0,5 х от поверхности Земли. Поскольку масса грунта т = pSx, где S- площадь поперечного сечения колодца, р - плотность грунта, то А = 0,5pSgx2.
Обратим внимание на то, что величина работы пропорциональна квадрату глубины колодца. Обозначим через Ah работу первого рабочего, а А и - полную работу по выкапыванию колодца глубиной Я. По условию
AJAH = 0,5.
Учитывая закономерность, установленную ранее, получим h2 /H2 = 0,5. Поэтому искомая глубина равна h = Hjfi ~ 1,41 м.
5. Отметим, прежде всего, что импульс системы пушка-снаряд изменяется при выстреле в результате действия на систему внешней силы - силы реакции опоры. Однако сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы, поскольку реакция опоры не имеет проекции на это направление. Если скорость вылетающего из пушки снаряда обозначить и, то согласно сказанному должны иметь место следующие равенства:
0 = mvcosa-MV и Ap = mvs'ma, а потому искомое изменение импульса системы Ap = MFtga = 400 кг м/с.
6. Максимальная сила, с которой пружина действует на стену в процессе колебаний, - это сила упругости, равная по закону Гука:
Fmax = kxm, (1)
где Jtm - величина максимальной деформации пружины, т.е. амплитуда возникших колебаний. Чтобы найти ее, достаточно воспользоваться законами сохранения импульса и энергии. Первый закон, как известно, вполне
27 Фіаический факультет МГУ
применим к абсолютно неупругому удару (крайне малым импульсом силы упругости пренебрегаем, считая соударение мгновенным):
mV=(M + m)u. (2)
Это равенство связывает импульс летящей пули и импульс системы пуля-тело сразу после застревания пули в теле; и - скорость тела в указанный момент времени. В последующие моменты времени в системе действуют лишь консервативные силы, а потому должен выполняться закон сохранения механической энергии, т.е. должно иметь место равенство:
0,5 (т + М) и2 = 0,5 кх2т. (3)
Равенство (3) связывает максимальные значения кинетической и потенциальной энергий системы. Подставляя и из уравнения (2) в уравнение (3), находим сначала хт, а затем, с помощью (1), окончательно определяем искомое значение силы:
Fmax=mvL~±—*\0\\.
V M + т
7. На шар действуют три силы: сила тяжести т g, архимедова сила Fa и сила реакции опоры со стороны дна N. При равновесии
mg-N-FA = 0.
Сила Архимеда связана с объемом v погруженной части шара:
FA = p,gv,
где pi - плотность воды. Поскольку плотность материала шара в два раза меньше плотности воды, то масса шара т = 0,5р, V, где V- объем шара.
Сила давления шара на дно сосуда P по 3-му закону Ньютона равна силе реакции опоры N и по условию задачи должна стать равной нулю, т.е.
P = N= 0.
Следовательно, в воде должна находиться ровно половина шара. Поэтому необходимое количество воды равно разности объемов цилиндра радиусом R и высотой г и половины объема шара радиусом г:
AV = пR2 г- ^nri = (r2 -2г2/з)яг «1,3 л.
8. Условие равновесия поршня в исходном состоянии и уравнение его движения с ускорением о можно представить в виде:
Mg + poS-PiS = 0, (1)
Mg+ p0S-p2S = M о, (2)
28 Решения задач
где poS, ptS, рг S - соответствующие силы давления атмосферы и газа на поршень. Поскольку температура газа остается неизменной, то по закону Бойля-Мариотга:
PtShi=P2Sh2, (3)
где Ai и A2 - высоты столба газа в неподвижном и движущемся с ускорением цилиндре.
Искомая величина х = ——— 100 % с учетом (3) может быть записані
на в виде X = {pi/p2 - 0'100 0/о • Выразив pi нр2 из (1) и (2), получим:
ДА
X = - :
А
M_g + PoS . 11.100 % =---100 % = 20%.
M(g-a) + p0S J р0 S + M (g - а)
9. При адиабатическом расширении газ не получает и не отдает теплоту (Qi2 = 0). В рассматриваемой задаче газ получает количество теплоты бз і при изохорическом нагреве на участке 3 1, а отдает Q23 при изотермическом сжатии на участке 2-3. По определению КПД цикла
л 031-023 , 023
Qn Q3I'
Поскольку, при изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа не изменяется, то согласно первому закону термодинамики Q23 = А. При изохорном нагреве Q31 = vCK (Г, - T3), где v - число молей, равное 1 по условию задачи; Cv = 1,5 R - изохорная молярная теплоемкость идеального одноатомного газа. Таким образом:
= 1 2 А Л ЗЯ(7і-7з)-
Из диаграммы процесса (см. рис. 8) видно, что Г, - максимальное, а T2= T3 — минимальное значение температуры газа в заданном цикле. Поэтому искомая разность температур
AT = —«2,5К.
3*0-п)
10. Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для водяных паров в сосудах до и после их соединения:
V-PlVl=InlRT ,Vip2V2 = /я2 RT, (1)
цр(У1+У2) = (т1 + т2)ДГ, (2)
29 Фіаический факультет МГУ
