Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ttd4
64
(ф-ла (1.39)),
Устойчивость упругого равновесия.
Зная упругие свойства тел, мы всегда можем рассчитать деформации под действием заданных сил. Такие расчеты проводятся в курсе теоретической физики. Их основная идея сводится к следующему.
Под действием внешних сил в теле возникают напряжения. Эти напряжения действуют на элементарный объем через поверхности, его ограничивающие. На рис. 1.19 изображена одна нормальная fn и две тангенциальные силы f21 и f31, действующие на заштрихованную грань кубика. Модули этих сил равны 22
Механика сплошных сред
Xi
Дп
dS
f 21
(1.56)
f31
X-
Рис. 1.19
fii = aIidS1; f21 = CJ2JdS1;
f3i = Ct3^S1. Здесь индексы указывают на то, что силы приложены к площадке, перпендикулярной X1 и действуют в направлении оси X1 (ап — нормальное напряжение) и осей X, и х3 (CT21 , CT31 — соответствующие тангенциальные напряжения).
Аналогично, но с другими индексами, записываются модули сил, приложенных к площадкам dS, и dS3. Полная сила, действующая на выделенный объем, зависит как от ориентации площадок, ограничивающих этот объем, так и от внутренних напряжений в той области, где находится рассматриваемый объем. Эти напряжения описываются совокупностью девяти величин CTik (i, k = 1,2,3), которые составляют тензор напряжений. В упругих телах деформации пропорциональны соответствующим напряжениям. Таким образом, сложные деформации упругих тел описываются системой линейных дифференциальных уравнений, связывающих компоненты тензора деформаций и тензора напряжений. Материальные свойства изотропных сред представлены, как правило, коэффициентом Пуассона ц (1.4) и модулем всестороннего сжатия к (1.29). Анализ такой системы уравнений позволяет не только рассчитать деформацию тел, но и ответить на вопрос, устойчивы эти деформации или нет.
В качестве примера рассмотрим задачу о потере устойчивости стержня при его продольном сжатии силой F (рис. 1.20). При малых сжимающих силах сжатая стойка находится в устойчивом равновесии, так как при малом случайном отклонении от вертикали стойка, тем не менее, достаточно быстро возвращается в вертикальное положение. С увеличением нагрузки случайные отклонения исчезают медленнее. При F = Ficp наступает состояние безразличного равновесия: прямолинейная форма еще устойчива, но устойчивым уже будет и изогнутое состояние стержня (пунктир на рис. 1.206).
, „. Такое раздвоение
Рис. 1.20
\
F<R
кр
F=F1
кр Лекция 1
23
I
O=
равновесия, характеризующееся двумя его формами, называется бифуркацией. Новая криволинейная форма равновесия при F > Ficp будет устойчивой. Однако в этом случае в стойке возникают недопустимо большие изгибы и напряжения.
Задача о выпучивании стержня при продольном сжатии была решена в XYIII веке выдающимся математиком Леонардом Эйлером. Рассчитаем, следуя Эйлеру, значение критической силы F и форму изогнутого стержня, когда последний шарнирно
Kp
закреплен за оба конца (рис. 1.21).
Форма изогнутого стержня и(х) может быть получена из уравнения
(1.46), в котором вместо момента поперечной силы F(? - х) для произвольного сечения X = const следует записать момент сдавливающей силы в виде M = F u. Тогда уравнение (1.46) примет вид:
dh
dx2
Fu EJ
(1.57)
? F
Если обозначить q = — и обратить внимание на то, что уравнение (1.57)
EJ
аналогично уравнению гармонических колебаний, то можно записать
u(x) = Uq sin(qx + Ф). (1.58)
Из граничного условия u(0) = О следует, что Ф = О. Из другого граничного условия и(/') = О следует
sin q? = О, или qn =
пп
T
11=1, 2, 3...
(1.59)
Каждому значению qn соответствует своя конфигурация изогнутого стержня, представляющая собой синусоиду, имеющую п полуволн. Эти конфигурации возникают при соответствующих значениях сил, равных
F„ = її
, Tt2EJ
?2 '
При її = 1 формула (1.60) дает значение критической силы
Jt2EJ
F =
Kp
I1
(1.60)
(1.61)
Эта формула была получена Эйлером и носит его имя.
Другие искривленные формы равновесия (n = 2, 3...) являются неустойчивыми, однако они могут быть реализованы, если стержень дополнительно закрепить шарнирными опорами в сечениях, где U = O (рис. 1.21 в). 24
Механика сплошных сред
Полученный результат имеет большое практическое значение. В силу неустойчивости стержней при их сжатии толкающие рычаги и штоки в машинах делают по возможности короче и большого сечения, в то время как тянущие штоки, имеющие большой запас прочности на разрыв, могут быть и не очень толстыми. По аналогии легко понять, что герметичные емкости, испытывающие нагрузку на разрыв (например, паровые котлы) делают более тонкостенными, чем емкости, подверженные сжатию (оболочки батискафов, подводных лодок и пр.)
Энергия упругих деформаций.
При деформации внешние силы совершают работу. Эта работа в общем случае идет на увеличение потенциальной энергии и на нагревание тела. Так, например, если мы будем пытаться переломить проволоку, то место ее многократного изгиба может сильно нагреться, прежде чем проволока переломится.
