Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
сила fu = -PiiIii , направленная противоположно нормали Ii1 к і-ой поверхности (на рис. 2.1 указаны лишь две силы). Поскольку силы, действующие на 28
Механика сплошных сред
Si F1
S2
F2
Рис. 2.1
противоположные грани кубика, равны по величине, то p11 = F1 / S1. Равенство давлений ри и р22 следует из условия равновесия половины кубика,
выделенного более темным цветом и изображенного на фрагменте. Действи-f
тельно, fn = f22 = -J^, поэтому p22 = p11. Рассматривая равновесие элементарных объемов в различных точках жидкости, получим условие:
которое и является математическим выражением закона Паскаля.
Если рассмотренный сосуд соединить при помощи трубки с другим цилиндрическим сосудом с площадью основания S,, то при открывании крана К внутренние напряжения в соответствии с законом Паскаля передадутся во второй сосуд (рис. 2.1). На поршень, закрывающий этот сосуд, жидкость будет давить вверх с силой
Если S, > S1, то развиваемое усилие F, > F1. Этот выигрыш в силе используется во многих гидроприводных устройствах (гидроприводах): в приводе ковша экскаватора, рулей ракет и самолетов. На этом же принципе работает гидравлический пресс, гидравлический домкрат, тормозные системы автомобилей и т.д.
В системе СИ за единицу давления принимается Паскаль (Па), при этом 1 Па = 1 Н/1 м2. В технике в качестве единицы давления используется техническая атмосфера: 1 ат = 1 кГс/1 см2 = 9,8-104 Па.
Жидкость во внешнем поле.
Рассмотрим напряжения, возникающие в жидкости, находящейся в поле внешних сил (сил тяжести, инерции и др.)
Пусть к элементу жидкости объемом dV = dxdydz приложена внешняя сила FdY (F - плотность силы, то есть сила, приходящаяся на единицу объема жидкости, (рис. 2.2). В результате возникающих внутренних напряжений на нижнюю грань кубика с координатой х и площадью dy • dz в положительном направлении оси X действует сила давления p(x,y,z)dydz, а на верхнюю грань —
(2.2)
F2=PS2=IlS
і.
(2.3) Лекция 1
29
FdV
Рис. 2.2
= 0.
(2.5)
p(x+dx,y,z)dydz. При равновесии кубика, х
очевидно, необходимо, чтобы выполнялось равенство:
p(x,y,z)dydz — p(x+dx,y,z)dydz +
+ Fxdxdydz = 0. (2.4а)
Аналогичные по смыслу равенства должны быть записаны и по двум остальным осям координат: p(x,y,z)dxdz — p(x,y+dy,z)dxdz +
+ Fydxdydz = 0; (2.46)
p(x,y,z)dxdy— p(x,y,z+dz)dxdy +
+ Fzdxdydz = 0. (2.4b)
Разделив левые и правые части записанных выше равенств на элементарный объем, получаем условия равновесия в виде дифференциальных уравнений
+ F =0. - — + Fv = 0 • -^P+F Эх х ' Эу у ' dz z
Из уравнений (2.5) следует, что давление не остается постоянным и изменяется в тех направлениях, по которым действует внешняя сила. Если ввести вектор градиента давления
Эр, Эу
где ех, еу и ez - единичные векторы вдоль осей координат, то уравнения (2.5) можно записать в более компактном векторном виде:
-grad р + F = 0. (2.7)
В соответствии со смыслом введенного в предыдущих лекциях вектора градиента скалярной величины из (2.7) следует, что давление наиболее быстро нарастает в направлении действия внешней силы F, а в перпендикулярных направлениях остается постоянным. Таким образом, можно говорить о поверхностях равного давления, нормаль к которым в каждой точке совпадает с направлением приложенной в этой точке внешней силы. Несложно рассчитать распределение давлений по объему жидкости, если принять во внимание, что компоненты внешней силы F выражаются через производные скалярной функции координат p(x,y,z). Это означает, что сила F - потенциальна и, следовательно, может быть выражена через потенциальную функцию U (потенциальную энергию единицы объема жидкости во внешнем поле) следующим образом:
F = -grad U . (2.8)
Подставив (2.8) в (2.7), получим
grad (р + U) = 0, или р + U = const. (2.9)
Константа в (2.9) определяется из условия нормировки потенциала.
grad р = Vp = — е
Эх
Эр
H—— е H—— е
х у Эг z
(2.6)
Жидкость в поле силы тяжести.
Пусть несжимаемая жидкость (например, вода) находится в поле сил тяжести, F = pg, плотность жидкости р = const. Для расчета распределения давлений удобно направить ось х вдоль силы тяжести, совместив начало оси 30
Механика сплошных сред
со свободной поверхностью жидкости. Поскольку потенциальную функцию можно записать в виде U(x) = -pgx (нормировка потенциала такова, что U(O)=O), то распределение давлений по глубине определяется из соотношения
р(х) - pgx = const. (2.10)
Константа определяется из условия равенства давления на поверхности воды атмосферному давлению р0. Следовательно,
р(х) = р0+pgx. (2.11)
Если принять атмосферное давление
p0 « IO5 Па, плотность воды р = IO3 кг/м3, то из (2.11) легко подсчитать, что с увеличением глубины на каждые 10 метров (Ах = Юм) давление увеличивается на величину атмосферного давления (Ар = p0). Важно отметить, что возрастание давления с глубиной не зависит от формы сосуда, в который налита жидкость. Яркой иллюстрацией справедливости этого утверждения является одинаковость уровней жидкости в двух сообщающихся сосудах произвольной формы (рис. 2.3). Действительно, равенство двух горизонтальных сил давления, обеспечивающих равновесие кубика жидкости в нижней части сообщающихся сосудов, возможно лишь при равенстве высот столбов воды в обоих сосудах.
