Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
со
3(0 = (?1)+ E '-Оа»(*г. О.
V — со
(22.2.7)
где GiXkil — l',t) — запаздывающая двухвременная функция Грина, определяемая формулой (22.1.9) и — равновесное (при данной температуре) значение спина /-го атома:
(sf) = Sp ф0.
Зная среднее значение спина 1-го атома S1(J) можно, согласно формуле (1.3.3), найти среднее значение оператора плотности магнитного момента:
M(г, О = — 2ft, S 6 (г — R1) J1 (О-
Подставляя в эту формулу вместо Si (0 выражение (22.2.7), получим
m(r, О = M(г, t) — MQ(r) =
СО
JVo<'> (/-/'. t — t') ¦ h (Rf, ^bir-Rl),
W -со
(22.2.8)
где
M0 (г) = — 2ji0 2 o (г — R1) (S1)
есть равновесная плотность магнитного момента. Найдем компоненту Фурье m(r, t):
m(k, со)= j Clrdte-^ltr-M'>m(г, t).
Замечая, что
_1_ 2 е'<(*'-*)¦= -L 2 6 (*' ¦-.k + 2лт), (22.2.9)
I X
-220 где t — вектор обратной решетки и V0— объем элементарной ячейки, получим из (22.2.8)
Ttii (А, ©) = _-MLofj(A. —2ят,
T
где А (А, со) — компонента Фурье стороннего магнитного поля Л (г, t)\
Л (А, со)= J drdte-Hkr-aVh (г, t). (22.2.10)
Формулу для т. (А, со) можно представить также в интегральном виде
т{А, со)= (А, А'; со)ft(A', (o)rfA', (22.2.11)
где
Х'(А, Л'; о) = x'(Л. co)2o(A' — А + 2лт),
.г) .. * (22.2.12)
Х:,.(А, со) = --?^0?. (А, со).
Заметим, что интегральная связь между компонентами Фурье плотности магнитного момента и стороннего магнитного поля обусловлена тем, что ферромагнетик не является однородным телом, а представляет собой периодическую структуру.
Если стороннее магнитное поле мало меняется на расстояниях порядка a(ak<^ 1) и мы интересуемся «длинноволновыми» компонентами Фурье магнитного момента (аА<^1), то
т (А, (о) = ?'(А, и) А (А, и). (22.2.13)
Так как стороннее переменное магнитное поле, вообще говоря, не совпадает с магнитным полем в ферромагнетике А('\ то тензор х'(А, со), с которым мы уже встречались в § 10, отличается от тензора магнитной восприимчивости % (А, (О).
Если A1 (L — размеры тела), то компоненты Фурье полей h(r, /) и Ї) связаны между собой соотношением
А<°(А, (O) = A (А, (о) — 4лА кт{? ю) .
Поэтому соотношение (22.2.13) в этом случае можно переписать в виде
(o/y - і kAki) mJ (*• =y-'ij hf (*.
-221 Сравнивая это уравнение с соотношением
ntjik, (H) = Xjl (ft, со) Л<'> (ft, со).
получим где
?(ft, ш) = [1 — 4л?'(,к со)Я]-1 %' (k, со), (22.2.14)
_ kIkJ
пч — ~W'
Из последней формулы следует:
?'(ft. ©) = Х(*. <а)[1+4яях(Л. (о)]-1. (22.2.15) Подставляя сюда вместо /(ft, со) выражение (6.3.3), получим Х'(*. ©) = -
to, 0\ гсо/^М0т, О J (22.2.16) О, О/
(ось г выбрана вдоль оси анизотропии п, а ось у —перпендикулярна плоскости («, ft); релаксационная постоянная 1/т2 предполагается равной нулю). Мы видим, что полюсы тензора %'(k, со) определяют частоту co^(ft) и декремент затухания спиновой волны ys(k) с волновым вектором ft.
Если kL 1. то поля Aw((I))1 А (со) связаны между собой соотношением
A(i) (о) = А (Ш) — AnNrn,
и, следовательно,
X(0, ©) = [1 — 4Л?'(0, (D)N]"1 ?'((), ®),
где N —тензор размагничивающих коэффициентов (тело предполагается имеющим эллипсоидальную форму, см. § 10). Из последней формулы следует:
?'(0, (D) = ?(0, ю)[1+4я#х(0. со)]-1-
Эта формула совпадает с формулой (10.4.2). В случае одноосного ферромагнетика с магнитной анизотропией типа «легкая ось» и Яо^Цл тензор х'(0. to) определяется формулой (10.4.4).
-222 Используя формулы (22.1.7), можно выразить спектральные функции Jib (ft, ш) и Jih (k, о) через антиэрмитову часть тензора i'ik (k, со):
JlAk, «) = ®>}.
' (22.2.17)
У/,(ft, = !){*«(*• ®)-х;й(А. о))}.
С помощью этих соотношений можно получить выражения для компонент Фурье корреляционной функции операторов плотности магнитного момента (ЛГДГр t:)Mj(r2, t2)), где оператор (г, t) определяется формулой (1.3.3). Согласно формулам (22.1.7), (22.2.9) компонента Фурье этой функции имеет следующий вид:
^ drdr' dteia<t-t">-lkr+ik'r' (M^r, t) Mj- (г', Ґ))==
= (2л)3 (MlMj)to 2 6 (ft — ft' + 2лт), (22.2.18)
T
где
(^^-—^J'jik, (О),
или, согласно (22.1.7), (22.2.12),
(MlMj)kш = W^e.+О «)}• (22.2.19)
Это важное соотношение определяет спектральное распределение флуктуаций плотности магнитного момента в ферромагнетиках. В § 24 мы вернемся к этому соотношению и применим его для исследования процессов рассеяния нейтронов и фотонов в ферромагнетиках.
Определим в заключение этого раздела запаздывающую функцию Грина G(/)(ft, о) при ft = 0 в пренебрежении релятивистскими взаимодействиями. Заметим прежде всего, что
со
Qfj (О, (D) = - -J J dte^'aSt (t), Sj (0)]), (22.2.20)
о
где S(t) =2 si(О и N — полное число атомов в ферромагнетике.
-223 При учете одного только обменного взаимодействия гамильтониан ферромагнетика имеет вид
Sffi = Sffie +1MoS2Hi0eK =
где Sffie — гамильтониан обменного взаимодействия. Так как [S, Me] = 0, то
S1 = I5' (0. Se (01 = еш HtfiSl (О-
Отсюда следует;
Sx (t) = Sx (0) cos со0t — Sy (0) sin (о0/, Sy (t) = Sx (0) sin a0t -j- Sy (0) cos Wt/, 5,(0 = 5,(0).
