Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 7.
t2 (а):
[Htor2Jli
УШ'+«-
(19.2.6) Структура спектра в этом случае показана на рис. 8.
Наконец, рис. 9 слу- Рис. 8,
жит для иллюстрации
структуры спектра в общем виде. По осям отложены величины Oj и а2. В области изменения а, и а2, соответствующей заштрихованной части рисунка, существует одно связанное состояние. В остальной области изменения Ci1 и а2 имеется два связанных состояния.
-192 Перейдем теперь к рассмотрению связанных состояний в трехмерном случае (d — 3).
Пусть сначала Ct1 = ct2 = Ct3 = а. Тогда уравнение (19.1.14) распадается на два совпадающих уравнения:
Т = (19.2.7)
)D,(i). (19.2.8)
и уравнение
2sa / t - = (?-0
где
JI Я Я
cos ki dkx dk2 dkз
X — cos kt — cos k2 — cos k3
0 0 0
я я я
cos Zii cos k2 dki dk j dk з
cos kx — cos k2 — cos k3
Уравнению (19.2.7) соответствует двукратно вырожденное связанное состояние, а уравнению (19.2.8) — невырожденное связанное состояние.
Рис. 9.
Структура спектра двухмагнонных состояний в этом случае показана на рис. 10. Из рисунка видно, что не существует связанных состояний при а, близких к единице (малые К). Так как граница непрерывного спектра определяется
13 А. И. Ахиезер
193 уравнением t = За, то двукратно вырожденное связанное состояние ответвляется от непрерывного спектра при
a =^. (D1 (3)-0,(3)) =-??-.
а невырожденное состояние при
а =D1 (3)(^f-f 0,(3))"1, D1 (3) = 0,17.
При а = О величина t (а) равна l/4s как для уравнения (19.2.7), так и для уравнения (19.2.8).
Исследование случая Ci1=Ci2 = O, Ci3 = а сводится к решению уравнения (19.1.14) для одномерной и двумерной решеток. Структура спектра при Ci1 = Ci2 = O изображена на рис. 11. Из этого рисунка видно, что в области 0<а<
< -gr^l — l) имеется три связанных состояния, а в области
"^s" ("й" — 1 —два связанных состояния.
194 На рис. 12 качественно показано число связанных состояний в различных областях пространства 0 ^ щ ^l (/=1, 2, 3) в общем случае. Из рисунка видно, что в области О
вблизи точки Cti я» 1 (малые К) вообще нет связанных состояний; в области 1 имеется одно связанное состояние; в области 2 — два связанных состояния; и, наконец, в области 3 — три связанных состояния. Этот рисунок, очевидно, качественно согласуется с рис. 10 и 11. ГЛАВА VI
ТЕРМОДИНАМИКА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИКОВ
§ 20. Термодинамика ферромагнетиков
1. Термодинамический потенциал идеального газа магнонов. Выяснив характер статистики, которой подчиняются спиновые волны — магноны и зная закон их дисперсии, мы можем перейти к исследованию термодинамических свойств ферромагнетиков и антиферромагнетиков.
Воспользуемся с этой целью известным соотношением [1]
эе
?2 = — Г In Sp е т, (20.1.1)
связывающим термодинамический потенциал Q произвольной, системы с ее гамильтонианом SfS. Гамильтониан магнитоупорядоченных кристаллов складывается из гамильтониана спиновой системы и гамильтониана решетки. Поэтому в термодинамический потенциал таких кристаллов вносят вклад как спиновая система, так и решетка. Мы рассмотрим здесь вклад спиновой системы и будем поэтому под m понимать гамильтониан спиновой системы Sffs- Этот гамильтониан можно представить в виде
Ses = Stf о+&&„.
где Sfe0 — гамильтониан идеального газа магнонов и Sffss — гамильтониан взаимодействия между магнонами.
В области достаточно низких температур можно считать что магноны образуют идеальный газ частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна. Для этого необходимо, чтобы температура удовлетворяла условию T <s^Tc для ферромагнетиков и T<z^TN — для антиферромагнетиков. В этих
-196 условиях можно сначала не учитывать гамильтониана взаимодействия Sffss и исходить из следующего выражения для термодинамического потенциала:
Q0 = -T InSpe""^. ' (20.1.2)
Подставляя сюда
^0 = Е0 ТО + 2 * (*) С+ (ft) С (к), ъ І
где esj (k) — энергия магнона сорта j с волновым вектором к и с+ (ft), ?^(ft)— операторы рождения и уничтожения соответствующего магнона, получим следующее выражение для термодинамического потенциала идеального газа магнонов:
I esJ (fe)\
00 = ^0(//^)+7, 2 hi ll —е r ). (20.1.3) kj
Равновесная плотность магнитного момента ;И(Г, Hq^) и спиновая теплоемкость cs (Т, //<f>) магнитоупорядоченного кристалла связаны с Q соотношениями
M = --!.-^- C=-Z^L (20 14) V дН^' s VdT2' 1>
где V — объем тела. Для идеального газа магнонов эти формулы приобретают, согласно (20.1.3), вид
м(т, н^) =
IdE0 1 V, Г dk d^j (k) 1
V (2it)3 J дН{0е)
^s j
W
е т -1 (20.1.5) 1 д С Ssi (ft)
« г -і
Первое слагаемое в формуле для М. представляет собой плотность магнитного момента при T = 0, а второе слагаемое — поправку к плотности магнитного момента, обусловленную конечной температурой спиновых волн.
2. Равновесный магнитный момент и спиновая теплоемкость ферромагнетиков. Перейдем к определению равновесного магнитного момента и спиновой теплоемкости ферромагнетиков.
-197 Равновесные состояния ферромагнетиков
