Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
rik =-- ~ bik — 4- (П/П* — bik), (5.2.7)
t2 t1
48 M
И T1 и T
где Zt = -Jg- и T1 и T2 — две константы, имеющие размер-
ность времени, причем — > 0,--1--> 0. Эти константы,
t2 t1 T2
зависящие от температуры, мы оценим в § 27. Вектор R определяется при этом формулой
R = -Lh--L(nX(nXU)). (5.2.8)
T2 t1
Покажем в заключение этого раздела, что выражение (5.2.4) для эффективного магнитного поля в приближении магнитостатики представляет собой функциональную производную от энергии ферромагнетика по плотности магнитного момента.
Вычислим для этого вариацию энергии ферромагнетика W, связанную с изменением плотности момента oM(r, t). Заметим прежде всего, что
I
J дМі dxk дМі \
V I 0^il
Г dF
+ J dS*-MToM"
* д'дхк
2dr.
где V — объем, a S — поверхность ферромагнетика.
Найдем далее вариацию магнитной энергии -L J (я(т)) Легко видеть, что в приближении магнитостатики, когда
н(т) = — УФ.
имеет место соотношение
'В{т)ЪН(т) dr = 0, (5.2.9)
где ЬНіт) — вариация магнитного поля, связанная с вариацией плотности магнитного момента 6М. Действительно, замечая,
что div/?'m' = 0, имеем
B{m)bH{m) dr = J dSB(i%iр+— J tfS?(_m)o<p_, з- S
где индексы плюс и минус служат для обозначения полей внутри и вне ферромагнетика. Последнее выражение обращается в нуль в силу непрерывности потенциала <р и
4 А. И. Ахиезер 49 нормальной составляющей вектора fi(m) на границе ферромагнетика.
Из формулы (5.2.9) вытекает, что
fi-gL. J (я(т))2 dr= — j МЬН{т) dr.
v
Но, согласно (2.1.8) и (2.1.10),
J MoH(m) dr = j ff(m)oM dr.
v v
Поэтому окончательно мы получим следующее выражение для вариации энергии:
vK dxk J
dF
+ J dSkjm[ Ші
где rfl) = H{m) + H%\ Отсюда видно, что
OXb
— _dF I д _dF
дм dxk д дМ
дхь
6 W
т. е. —в соответствии с формулой (5.1.5).
3. Уравнение переноса тепла в ферромагнетике. До
сих пор мы нигде не учитывали того обстоятельства, что плотность энергии W зависит также от плотности энтропии 5. Поэтому под dwjdt в уравнении (5.2.6) нужно, строго говоря, понимать производную от плотности энергии по времени при постоянной энтропии, т. е. записывать уравнение (5.2.6) в виде
(lF), -Miv П = - of2 _ TljHlHj. " (5.3.1)
Ясно, что
/ dw \ _ dw dw ds
Ji — ~dt ds W
С другой стороны, в постоянном стороннем магнитном
(є)
поле Щ имеет место закон сохранения энергии, в силу 50 которого
~ + div (П- и VT) = 0, (5.3.2)
где у. — коэффициент теплопроводности, а — nVT — плотность потока тепла (для простоты мы не рассматриваем анизотропии теплопроводности). Поэтому из (5.3.1), (5.3.2) вытекает соотношение
* + div (- -f VTj = X (І VTj2 + -1 + Y
(5.3.3)
^напомним, что
Величина--VT представляет собой плотность потока
энтропии, а правая часть равенства (5.3.3) — источники энтропии.
В уравнение теплопроводности (5.3.3) входит энтропия неравновесного состояния ферромагнетика, которое характеризуется заданием двух независимых величин—температуры и плотности магнитного момента (в состоянии равновесия плотность магнитного момента является определенной функцией температуры и стороннего магнитного поля). Эту энтропию можно определить как энтропию ферромагнетика, находящегося в некотором состоянии равновесия, которое характеризуется температурой T и сторонним магнитным полем,
равным Н{ое) — ff.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что
и, следовательно,
d (w-\-HM — sT) = Ж dH — sdT.
Величина V(w-\-HM — sT) представляет собой, очевидно, термодинамический потенциал Q ферромагнетика в дополнительном стороннем поле, равном—H (при наличии этого дополнительного поля величина ЛІ будет являться равновесной плотностью магнитного момента ферромагнетика). Таким образом,
d-^- = MdH — s dT
4*
51 и, следовательно,
1 <Э?2 „1 <ЭЙ S =---, М.
V дТ V дН '
что и утверждалось.
Уравнение (5.2.1) вместе с уравнением теплопроводности (5.3.3) и уравнениями Максвелла представляют собой полную систему уравнений для определения величин М, Е, Н, Т.
4. Граничные условия для вектора намагничения. Так как в уравнение движения магнитного момента входят производные по координатам от плотности магнитного момента М, то необходимо еще выяснить, каким условиям удовлетворяет плотность магнитного момента на границе ферромагнетика [5—7].
Используем для этого непрерывность нормальной составляющей плотности потока энергии на поверхности ферромагнетика:
n_v = II+v,
где V — единичный вектор нормали к поверхности ферромагнетика. Эти составляющие вне и внутри ферромагнетика определяются формулами
П_V = V (?_ X = JL Н™ (v X ?-).
(5.4.1)
тт с и('ч) ( ^, п \ dF дМ
d A-
дхк
Так как тангенциальные составляющие электрического и магнитного полей непрерывны на границе ферромагнетика, то отсюда следуют соотношения
OF
ддМ<
дх ъ
¦ 0, (5.4.2)
которые и представляют собой граничные условия для вектора плотности магнитного момента.
Обратим внимание на то, что если при феноменологическом описании ферромагнетика релаксационный член R выбрать такім образом, что /?М = 0, то из уравнений (5.2.1) будет следовать соотношение
