Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Решение уравнений магнитостатики с граничными условиями (2.1.7) имеет, как известно, вид
Я(т)(г) = — grad<p(r), (2.1.8)
где ф(г)— магнитостатический потенциал, определяемый формулой
—JV (219)
V S
Эту формулу можно переписать также в виде
ф (г) = I dr'Mi 0г') ^7 • 1-~ . (2.1.10)
J dxt I г — г I
откуда
дХ:
~ Mi (г)-f- lim Г dr'Mkir')-~~r
р->0 , ... I г-г' |> р
Подставляя это выражение в формулу (2.1.5), мы приведем ее к виду (2.1.3).
Таким образом, энергия магнитного дипольного взаимодействия имеет вид
V
(2.1.11)
28 Покажем, что интеграл от третьего слагаемого в этом выражении может быть приведен к виду
— і ^ MH<-т) dr = ^ j (H^)2Clr, (2.1.12)
V
где интегрирование в правой части равенства производится по всему пространству. Заметим для этого, что, согласно уравнениям (2.1.6),
Поэтому
-Ij drMH<т> = -L J (н <m>)2 dr + -L J ФМт)
V- К S
где интегрирование во втором интеграле совершается по поверхности тела. Так как потенциал ф и нормальная составляющая вектора индукции непрерывны на поверхности тела, то поверхностный интеграл может быть преобразован в объемный интеграл по объему V', окружающему ферромагнетик:
^ J фМя) ^l =--L Jrfrdiv^c-).
5 V
Учитывая, что div (ф//(т)) =— (//(т))2, мы получим формулу (2.1.12)
2. Тензор размагничивающих коэффициентов. Рассмотрим однородно намагниченный ферромагнетик, Ж (г) = const. Магнитное поле Н^т)(г) в таком ферромагнетике имеет, согласно (2.1.10), вид
Н{-'П) (г) = V (MV) J =-4яN(r)M. (2.2.1)
к
где N (г) тензор с компонентами:
к
Это поле не является, вообще говоря, однородным. Но, если придать ферромагнетику форму произвольного эллипсоида, то при M = Const поле внутри него (но не вне) будет однородным. Действительно, в этом случае, как можно убе-
29 I
ॠ:ШЬС\^[\
диться, для точек внутри эллипсоида справедливо равенство
со
Т^-Уу — ™ J 7^(1 — a2 + s — ^q1^/'
V о
где
Rs = + +
а, Ь, с — полуоси эллипсоида и х, у, 2 — проекции радиус-вектора г произвольной точки внутри эллипсоида на главные
Г dr'
оси эллипсоида. Гак как интеграл J _ r, ^ представляет
V
собой квадратичную функцию координат точки г, то тензор N не будет зависеть от координат, т. е. поле Hi-m^ будет однородным.
Тензор AZ называется тензором размагничивающих коэффициентов. В системе координат, оси которой совпадают с главными осями эллипсоида этот тензор имеет только диагональные элементы [8]:
со
N . ... Г ds
Z1 = Yabc I
о
N.
' = T abc I WT^tu • (2-2-3)
0
і abc J
AZ3 = ^ft ' ds
2 J (c2 + s) Rs '
о
Легко убедиться, что сумма размагничивающих коэффициентов Nv N2, N3 всегда равна единице:
AZ1+AZ2+AZ3=I. (2.2.4)
Приведем значения размагничивающих коэффициентов в некоторых случаях.
Если тело имеет форму шара, то
AZ1 = W2 = AZ3 = I.
30 Если тело имеет форму цилиндра, ось которого направлена вдоль оси X (a = оо, b = с), то
W1 = O. W2 = W3 = I.
x2 у2 Д- z2
В случае вытянутого эллипсоида вращения -^--f- ^12—= 1, (а > Ь) размагничивающие коэффициенты имеют вид
n^J=i~2e)' ^2 = ZV3 = A(I-W1),
x2 4- v2
Наконец, в случае сплюснутого эллипсоида вращения —j^z—
- = 1 (а > с) коэффициенты Ni равны W1 = W2 = A (і -W3), zv3 = __ arctg ei
¦у I^a-і.
До сих пор мы не учитывали магнитного поля, создаваемого сторонними источниками. При наличии такого поля, которое мы будем называть сторонним и обозначать через HоА к энергии ферромагнетика должно быть добавлено слагаемое
Wff = -JdrMHi^. (2.2.5)
Если стороннее поле однородно и тело имеет форму эллипсоида, то поле и намагничение внутри тела также будут однородными. При этом связь между магнитным полем H^ внутри тела, намагничением M и сторонним магнитным полем Hi^ имеет вид
Hw = Нш) -f Н(0е) = Н{0е) -AnNM. (2.2.6)
Заметим, что, говоря об однородности поля и намагниченности ферромагнетика, мы не принимали во внимание возможной доменной структуры ферромагнетика. Это справедливо в случае достаточно сильных внешних магнитных полей. Если же ферромагнетик распадается на домены, то в приведенных выше формулах под полем и намагниченностью следует понимать усредненные значения этих величин по доменной структуре ферромагнетика.
31 § 3. Энергия магнитной анизотропии и полная энергия ферромагнетика
1. Спин-орбитальное взаимодействие. Перейдем теперь к рассмотрению взаимодействия магнитных моментов атомов ферромагнетика с электрическим полем кристаллической решетки. Гамильтониан этого взаимодействия, которое называется спин-орбитальным, можно представить в общем виде
^ll=SMt. (3-1-1)
к
где Sk — спин h-го атома, Ak = — 2,u0Hk и Hk — магнитное поле, испытываемое /%-м атомом благодаря его движению в электрическом поле Ek кристаллической решетки. Если Vk — скорость A-ro атома, то, очевидно,
Hk=-(VkXEk).
Отнесенная к одному атому энергия спин-орбитального взаимодействия составляет по порядку величины
V е ( V \2 <?2
Гамильтониан спин-орбитального взаимодействия содержит скорости, т. е. операторы импульсов частиц, и соответствует поэтому микроскопическому гамильтониану, о котором говорилось в начале этой главы. Переходя к модели Гайзенберга, мы должны заменить операторы скоростей операторами, построенными только из спинов частиц (и расстояний между ними), причем эта замена, как разъяснялось выше, не должна изменить структуры энергетического спектра ферромагнетика (по крайней мере вблизи его основного состояния).
