Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
производных, эти уравнения имеют следующий вид:
d*Pj дР, " , дЕ<
РИ dt2 + $ЧРi + 4iji ~дх_J = }Е/ + А</ ji
Фигурирующие в (3,3) тензоры р/;-, (Зг;-, ytjl и т. д. в
рассматриваемой области частот могут считаться постоянными,
они определяются типом экситонного перехода и симметрией
кристалла. В частности, в негиротропных кристаллах yljL = Afy -
0.
§ 3] НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ для ДИПОЛЬНЫХ ЭКСИТОНОВ 225
Переходя в (3,3) к плоским волнам
р (г, г) = р(сэ, к)<?г<кг-и<\
Е (г, /) = Е (и, к) е1 (кг~га<),
получаем систему трех уравнений, связывающих компоненты векто-
ров Р (со, к) и Е(со, к). Эта система уравнений имеет,
очевидно, следующий вид:
(- Р<т(r)2 + Кг -+¦ 1Уып.кп) рт ((r)- k) = (Af)+/A{L^)?m(o5,A). (3,4)
При неучете запаздывающего взаимодействия электрическое поле в
среде, при отсутствии внешних источников, является чисто про-
дольным:
Е (со, k) = - 4ns (sP (со, к)), (3,5)
где s = к/Дг. Поэтому, подставляя (3,5) в (3,4), получаем
систему
уравнений, содержащую только компоненты вектора поляризации:
+ 'v,",A+Мл!?+<л;йА)VJ И = о. (3,6)
Условие нетривиальной разрешимости системы уравнений (3,6)
дает уравнение, связывающее шик. Поскольку при получении (3,6)
не принималось во внимание лишь запаздывающее взаимодействие,
речь, очевидно, идет о зависимости о от к для нормальных волн
при полном учете кулоновского взаимодействия (т. е. для
кулоновских экситонов).
В общем случае, уравнение, определяющее зависимость со =
а>(к), громоздко, и мы ниже ограничимся обсуждением этой
зависимости только для одноосных кристаллов,
относящихся к кристаллическим
классам С3, С4, С6, D3, D4, D6. В этих кристаллах [2]
P/m = PAm' = ^Im ~ ^1т' ,п
(3,/)
V = 6 ? -Д(1) ---г Q рЧО
*1тп 1тпь пг 1тп 1тп° п '
где е1тп--полностью антисимметричный единичный тензор, р;,
AfJ - диагональные компоненты тензоров второго ранга, a g и g-
(i) - диагональные компоненты псевдотензоров второго ранга.
Направим ось z вдоль оптической оси, а ось х выберем в пло-
скости, проходящей через ось z и вектор к. В этом случае sy =
0, sz = cos 0, sA. = sin0, где 8 - угол, образованный вектором
к с оптической осью. Кроме того, в выбранной системе координат
Pi = Pa- Pi=02- Л|0> = Л<°), gi^=g2, gM = gM. (3.8)
Поэтому, если угол 9 = 0, т. е. если вектор к направлен вдоль
оптической оси, = 0, система уравнений (3,6) упрощается и
226
ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ И КРУГОВОЙ ДИХРОИЗМ [ГЛ. VII
принимает следующий вид:
(- р,со2 + р,) Pt -г lg3 [Рк]г + (sP) = 0.
(3,9)
Для продольной волны Р = sP и
= ^(Р3+4лЛ<°>),
(3,10)
тогда как для поперечных волн
( Р]С02 -)- Pi) р 1 Ч-Л'123^2^3 -
^123^*1^3 (- Pi(r)2 Pi) Рг=
(3,11)
Приравнивая нулю детерминант этой системы двух уравнений,
находим
Используя (3,12) и (3,11), легко убедиться в том, что
отвечающие частотам со, и со2 поперечные волны являются лево- и
правополяри- вованными по кругу волнами. Для них
Из соотношения (3,12) следует, что для поперечных волн со; (к)
Ф фа>1(-к), однако
со, (к) = со2 (- к). (3,14)
Уточнение соотношения (3,12) приводит к появлению в
выражении для частот соь 2 (к) также квадратичных и более
высоких степеней k3. Из (3,14) следует, что соответствующие
разложения по kb имеют вид
где а, р, у, ... - некоторые коэффициенты. Если, например, а >
0
имеет минимум.
В том случае, когда волновой вектор к не направлен вдоль
оптической оси, для частот всех трех волн выполняется
соотношение
Соотношение (3,15) является следствием того, что при
произвольном направлении s = kjk все предельные значения
частот (т. е. их значения при k^-О) оказываются различными.
Если же при к = 0 нет вырождения, то при малых к разложение
частоты и (к) в ряд по степеням к может содержать только
четные степени компонент к.
Итак, в одноосных кристаллах энергия дипольного экситона ?( к)
= Йсо(к) является четной функцией к, если вектор к не на-
со2 = со:
,1 = со22(к) = ^-(Р1 ±Утк3).
(3,12)
(3,13)
Mi, 2 (к) = со2,2 (0) (1 ± <х?з + р?з ± у4 + ...)• (3.14а)
со (к) = со (- к).
(3,15)
§ 3] НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ДИПОЛЬНЫХ ЭКСИТОНОВ . 227
правлен вдоль оптической оси. Если же вектор к направлен вдоль
оптической оси, то энергия ? (к) продольного экситона, который
при к = 0 образует энергетически невырожденное состояние,
также является четной функцией к, тогда как энергия ^(к) и ?2"
(к) поперечных экситонов удовлетворяют условию
Ef (к) = ?2±(-к). (3,16)
Вернемся теперь к уравнению (1,18) гл. I при Е - е1(к),
полагая, что вектор к направлен вдоль оптической оси, а
состояния ц~1, 2 отвечают поперечным дипольным экситонным
состояниям, которые соответствуют дипольно-разрешенному /-му
молекулярному переходу. Сравнивая уравнение (1,18) гл. I для
состояния р,= 1, к и ему комплексно сопряженное уравнение для
состояния ц, = 2, - к, используя соотношение (3,16), приходим
к выводу, что
aii (k) = ufa2 (- к), (3,17)
Заметим, что в кристаллах кубической симметрии при неучете
квадратичных по к слагаемых любое из направлений к является
