Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
ориентации, друг в друга, величина 3>а/ от а не зависит.
Условие нетривиальной разрешимости системы уравнений (1,18)
сводится к секулярному уравнению степени о относительно
величины Е. Вследствие эрмитовости матрицы La^(к)
все корни этого уравнения Е^(к),
(1=1, 2, ..., о, действительны. Они определяют о
экситонных зон. Каждому значению [1 отвечает своя волновая
функция экситонного состояния кристалла
\ </,, X = у=-? ""* (/) 00 е''кГпа С- (1.21)
па
Итак, одному невырожденному возбужденному состоянию свобод-
ной молекулы в кристаллах, содержащих о молекул в каждой эле-
ментарной ячейке, соответствует не одна, как это было в
рассмотренном ранее случае, а о полос возбужденных состояний.
Такое расщепление впервые было рассмотрено Давыдовым [9 -11],
и его обычно называют давыдовским расщеплением *), дабы
отличить от расщепления, исследованного Бете [14].
*) В своих работах Френкель рассматривал только кристаллы с
одним атомом (молекулой) в элементарной ячейке. Кристаллы,
содержащие несколько молекул в элементарной ячейке, в связи с
проблемой экситонов впервые были рассмотрены Давыдовым [11].
КУЛОНОВСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ЭКСИТОНЫ
27
Вырождение молекулярного терма связано обычно с наличием
достаточно высокой симметрии молекулы. Однако в кристалле сим-
метрия полей, обусловленных межмолекулярным взаимодействием, в
месте расположения молекулы может быть ниже симметрии моле-
кулы. В этом случае вырождение молекулярного терма снимается,
возникает расщепление, которое как раз и называют расщеплением
по Бете.
Для того чтобы пояснить механизм возникновения расщепления
термов по Бете в молекулярных кристаллах, допустим, что в эле-
ментарной ячейке кристалла содержится только одна молекула,
однако рассматриваемый терм / вырожден с кратностью вырождения
г0. В этом случае рассуждения, совершенно аналогичные исполь-
зованным при выводе системы уравнений (1,18), позволяют
получить систему г0 уравнений для определения коэффициентов
и^т\ Решение секулярного уравнения в этом случае показывает,
что в кристалле с одной молекулой в элементарной ячейке г0-
кратно вырожденному молекулярному терму отвечает г0 экситонных
зон.
Таким образом, если в случае, например, примесной молекулы,
обладающей вырожденным термом, расщепление по Бете приводит к
частичному или полному снятию вырождения, причем появляются
вместо одного несколько термов, то в случае кристалла с его
трансляционной симметрией вместо одного вырожденного терма
возникает несколько энергетических экситонных зон.
Отметим, что как расщепление по Бете, так и расщепление по
Давыдову не являются проявлением каких-то специфических кван-
товых особенностей. Они возникают также и в том случае, если
кристалл описывать в рамках классической физики, заменив моле-
кулы, например, классическими гармоническими осцилляторами.
В кристаллах, содержащих несколько молекул в элементарной
ячейке, в окрестности вырожденного терма с кратностью вырожде-
ния г0, вообще говоря, возникает ог0 экситонных зон. В этом
случае расщепление есть результат одновременного действия всех
факторов, приводящих как к давыдовскому расщеплению, так и к
расщеплению по Бете. Его анализ при больших аг0 становится,
естественно, более громоздким, хотя по-прежнему остается
достаточно элементарным.
§ 2. Кулоновские и механические экситоны
Выберем в качестве примера кристалл типа кристаллов
нафталина, антрацена и др., содержащий две одинаковые молекулы
в элементарной ячейке. Рассмотрим в таком кристалле экситонные
состояния, отвечающие невырожденному молекулярному терму. В
этом случае, очевидно, необходимо найти собственные векторы
(и, , и2(1) и собственные значения Ец матрицы ^а^(к),
определяемой соотношениями
28 ЭКСИТОНЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ГАЙТЛЕРА - ЛОНДОНА [ГЛ. I
(1,18)- (1,20). Эта матрица имеет вид
' Ln (к) -(- ??, -(- Дв, Lx2 (к) \
L2l (к) Z,22 (к) -(- SS, -(- ts.z, J
Ее собственные значения и собственные векторы определяются
формулами
(к) = Aef + 3?} + -Ln {k)-tL22 -
- У [in (Ю - ^22 (к)]2 + 4А?2 (к), (2,1)
/ cos-| sin-|\
К/к)} = у у Г ^=1> 2' (2'2)
\ sin у -cos J J
где у определяется из равенства
2?12 (к)
tg Y |?п (к) -i22 (к) Г (2'3)
Используя (1,21) и (2,2), находим, что экситонным состояниям
|1 = 1, 2 отвечают волновые функции
^1, R = (C0S jXnl+Sin{Xn2
п
W2,K = eikn (sin 1 *m - cos * xn2
(2,4)
Если для всех к выполняется неравенство
!Мк)|<СК"(к)-?22(к)|, (2,5)
величина y~0. В этом случае молекулы с ориентацией а=1 об-
разуют экситонное состояние независимо от молекул с
ориентацией a = 2. Если же выполняется неравенство, обратное
(2,5), то приближенно
(к) = Д6/ + S3f + Ln (к) - (- 1Т|Lu (к) |. (2,5а)
Из соотношения (2,1) легко определяется величина давыдовского
расщепления
Ех (к) - Е2 (к) = У (Lu - ?22)а-4-4^(к). (2.6)
В связи с рассматриваемыми экситонными состояниями отметим
здесь еще один возможный предельный случай. Именно, допустим,
КУЛОНОВСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ЭКСИТОНЫ
