Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
ф (X)ss. ]Л|-$е 2 Л (2.116)
о
играет важную роль в теории вероятностей и называется интегралом вероятностей. Мы видим, что если
(2.117)
то ф (z) дает вероятность того, что отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, от своего среднего значения по модулю не превзойдет а.
Интеграл вероятностей не выражается в конечном виде через элементарные функции. Для него составлены таблицы (см., например, JI. Н. Б о л ь ш е в, Н. В. С м и р-н о в, Таблицы математической статистики, Москва, Вычислительный центр АН СССР, 1968). Прилагаемая крат- (108
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
кая таблица 2 интеграла вероятностей показывает, что вероятность того, что случайная величина, распределенная нормально, отклонится от своего среднего значения не более чем на о, равна 0,68269; не более чем на 2о — 0,95450; не более чем на Зо — 0,99730; не более чем на
Таблица 2
Значение интеграла вероятностей _г J
* (Z) = S e~~''dt
о
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
1.3
1.4
1.5
1.6
«Кг)
0,00000 0,07966 0,15852 0,23582 0,31084 0,38292 0,45149 0,51607 0,57629 0,63188 0,68269 0,72867 0,76986 0,80640 0,83849 0,86639 0,89040
1.7
1.8 1,9 2,0 2,1 2,2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8 2,9
3.0
3.1
3.2
3.3
«г)
0,91087
0,92814
0,94257
0,95450
0,96427
0,97219
0,97855
0,98360
0,98758
0,99068
0,99307
0,99489
0,99627
0,99730
0,99806
0,998626
0,999033
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9 5,0
<И*)
0, $)99326
0,999535
0,999682
0,999784
0,999855
0,9999038
0,9999367
0,9999587
0,9999733
0,9999829
0,9999892
0,99999320
0,99999578
0,99999740
0,99999841
0,999999042
0,999999427
4о — 0,9999367. Таким образом, вероятность отклонений, больших 2а, уже сравнительно мала, вероятность отклонений, бдльпгах Зо, очень мала, больших 4о — ничтожно мала, порядка 7-Ю"5.
§ 31. Теорема Муавра — Лапласа
При рассмотрении числа m появлений события А в п испытаниях обычно бывает нужно найти вероятность того, что это число заключено между некоторыми значениями а и Ь. Если п велико и промежуток [а, Ь\ содержит ТЕОРЕМА МУАВРА - ЛАПЛАСА
109
большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения.
Mm)- т!(п%, РтГ-т (2.118)
требует громоздких вычислений; нужно суммировать большое число определенных по этой формуле вероятностей.
Поэтому целесообразно получить асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что р фиксировано, а п -»- оо. Теорема Муавра — Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция
Используем для доказательства известную в анализе формулу Стирлинга
s! =
где 0 < 8, < -pjj-. При больших s величина 8, очень мала, и
приближенная формула Стирлинга, записанная в простом
виде, _
s! = /2nss»e-, (2.119)
дает малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю, когда s -v оо.
Нас будут интересовать значения т, не очень сильно отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда, при фиксированном р, условие п -+• оо будет также означать, что
т оо, п — т оо (2.120)
(в отличие от распределения Пуассона, где предполагалось, что р -+• 0, a m конечно). Поэтому использование формулы Стирлинга (2.119) для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получим
* W - ¦ <mi>
Используем также введенное ранее ((2.12)) отклонение относительной частоты от наивероятнейшего значения
хт = -^-р (2.122) (110
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
и запишем (2.121) в виде
Pn И = 12яга (р + xm) (q - xm)]-v. X
x(1+-f) (1 -fv • (2Л23)
Предположим, ЧТО
хт <pq, (2.124)
и, взяв логарифм произведения второго и третьего множителей в правой части (2.123), применим разложение в ряд Тэйлора:
-п [(P-J-Xm) In (l +l2.)+(q-xm)ln(l -^f-)]-
( Xm Xim a* W
-ь (Q-Xm) \--д--...jj.
Расположим члены этого разложения по степеням хт
Предположим теперь, что при га -+• оо
Tix3m 0. (2.126)
Это условие означает, как уже было предположено выше, что рассматриваются значения тп, не очень далекие от наивероятнейшего. Очевидно, что (2.126) обеспечивает и выполнение (2.124), а также (2.120).
Пренебрегая в (2.125) вторым и следующим членами, найдем, что логарифм произведения второго и третьего множителей в (2.123) равен
Отбрасывая также малые слагаемые в скобках первого множителя (2.123), получим
п Ї S 31]
ТЕОРЕМА МУАВРА — ЛАПЛАСА
111
Обозначив
(2.128)
напишем (2.123) в виде
і хт
где ф (ж) — нормальная функция.
Поскольку в интервале Iт, т + 1) имеется только одно целое число —т, то можно сказать, что рп (т) есть вероятность того, что m попадает в промежуток Im, т -f- 1). Из (2.122) следует, что изменению т на единицу соответствует изменение Xm на
Ax= . (2.130)
Поэтому вероятность попадания ю в интервал [т, т -1-І)
