- .
( ):
kxMx = 0. (3.16)
Внесем оператор П2 в выражении (3.15) под знак хронологического произведения и воспользуемся уравнением
2 Я %
движения ПхА =1ем• Удерживая все одновременные коммутаторы, которые получаются в результате дифференцирования по времени хронологического произведения, получаем
Ml = I e‘k'X\(Р 1 Т^ЕМ {х) 2 (0)) 1 а) +
+ 6(*°)(р|[ЛЧД ?(0)]1а> +
+ ^[6(*°)(р|[ЛЧД'2(0)]|а>]}, (3.17)
') R. P. Feynman, неопубликованные замечания на XIII Международной конференции по физике высоких энергий в Беркли, сентябрь 1966 г.; см. также [6].
226
Г шва 3
где мы ввели сокращение (д/дх°) Ах = Ак. Одновременной коммутатор [Л\2(0)] обычно равен нулю. Но в общем случае 2 содержит члены, пропорциональные Л\ возникающие благодаря введению минимального электромагнитного взаимодействия с помощью подстановки дхФ/“* ->(<?*, —/еуЛ*) Ф/. В этом случае коммутатор [Лх(л:), 2(0)] отличен от нуля. Этот коммутатор описывает испускание фотона в той же пространственно-временной точке, в которой действует возмущение 2; его иногда называют „катастрофическим" членом'). Ему соответствует диаграмма, изображенная на фиг. 3.2. Замечание Фейнмана
Фиг. 3.2. Типичная диаграмма в виде чайки, соответствующая „катастрофическому" члену.
На этой диаграмме фотон (тонкая волнистая линия) выходит непосредственно из вершины S, обозначенной символом (g).
основано на том, что при вычислении мы получаем 0 = kxM^ = - j d\ eik'x [ib (x°) <p I [J°m (*), 2 (0)]| a) +
+ 6 (x°)kx <p | [Ax (a:), 2 (0)] | a)}. (3.18)
Если лагранжиан 2 пропорционален другому электромагнитному току, скажем J%M (0), то первый член в этом выражении есть как раз швингеровский член. Мы видим, что дивергенция „катастрофического“ члена в точности сокращается со швингеровским членом. (Формальное доказательство этого сокращения дано в приложении Б; см. также [7].)
Фейнман предположил, что это взаимное сокращение имеет место не только для матричных элементов, соответствующих электромагнитным токам, но также и для
*) В английской литературе его часто называют seagull term (т. е. член, соответствующий диаграмме, напоминающей чайку). — Прим. перев.
Низкоэнергетические теоремы для токов 227
матричных элементов, содержащих слабые токи и Сохранение тока при этом несущественно. Например, согласно Фейнману, матричный элемент испускания двух виртуальных лептонных пар при аксиально-векторном взаимодействии не равен хронологическому произведению двух аксиально-векторных токов, а имеет вид
Мм = J dtx eik'x(fi IT fef (x) ЪТ (0)) | a) +
+ „Катастрофические" члены. (3.19) Дивергенция „катастрофических" членов в точности
_К()
сокращается со швингеровским членом в коммутаторе и ЗГ- В результате дивергенция полного матричного элемента имеет простой вид
kkMXc = J A eibx {г ф | Т (д.дТ (х) Ъ? (0)) | а> -
-64Wffete<Pl^(0)|a)}, (3.20)
в то время как дивергенция хронологического произведения дается более сложным выражением. Из равенства (3.20) можно получить низкоэнергетические теоремы для МХа описанным выше методом. Таким образом, с точки зрения вывода низкознергетических теорем смысл утверждения Фейнмана состоит в том, что если одновременно пренебречь „катастрофическими" и швинге-ровскими членами, то получится правильный результат.
