Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Расплывание пакета и связанное с ним затухание элементарных возбуждений можно представить себе как результат взаимодействия «квазичастиц» друг с другом. При этом выполняются законы сохранения энергии и импульса. Очевидно, все такие переходы можно разделить на процессы «распада» одного возбуждения на несколько других и процессы «рассеяния» возбуждений друг на друге.
с выражением для энергии свободных частиц § 1] элементарные возбуждения. свойства жидкого He4 15
Как мы увидим ниже, распад возбуждений может происходить только при достаточно большой энергии. Процессы рассеяния становятся существенными только тогда, когда число возбуждений достаточно велико. Таким образом, при низких температурах, где существенны возбуждения с малыми энергиями и число их мало, оба типа процессов, приводящих к затуханию возбуждений, не будут существенными. Слабость взаимодействия между возбуждениями при низких температурах позволяет рассматривать их как идеальный газ «квазичастиц».
В настоящее время на основании экспериментальных данных и прямых теоретических расчетов можно считать, что изложенные представления о структуре спектров являются твердо установленным фактом. Конечно, энергетические спектры различных физических объектов (например, жидких изотопов гелия He3 и Не4, металлов, диэлектриков и др.) совершенно различны. Так, спектр жидкого He4 является спектром бозевского типа, а спектр жидкого He3 и электронные спектры металлов!) принадлежат к спектрам ферми-евского типа.
2. Спектр бозе-жидкости2). Одним из примеров системы, обладающей спектром бозевского типа, является так называемая бозе-жидкость, т. е. жидкость, состоящая из атомов с целочисленным спином. В природе существует только одна такая жидкости—жидкий гелий (точнее, изотоп Не4), которая не затвердевает при абсолютном нуле температуры. Поскольку атомы He4 обладают нулевым спином, мы можем по существу, ограничиться только этим случаем.
Зависимость энергии возбуждения бозе-жидкости от импульса, при предельно малых значениях последнего, определяется из весьма общих соображений. Область малых импульсов р соответствует длинноволновым колебаниям жидкости. Но такие колебания есть не что иное,
!) Во избежание недоразумений оговоримся, что в дальнейшем мы всюду рассматриваем только изотропную модель металла, что, конечно, очень далеко от действительной картины. Электронные спектры в реальных металлах резко анизотропны, и поэтому многие изложенные в книге результаты в применении к металлам имеют только качественный характер.
2) Излагаемые представления о спектре бозе-жидкости были впервые высказаны Л, Д. Ландау [2, 3]. •16 общие свойства систем из многих частиц [гл. i
как обыкновенный звук. Отсюда мы сразу заключаем, что элементарные возбуждения при малых р тождественны квантам звука — фононам, для которых связь энергии и импульса хорошо известна. Действительно, замечая, что частота звука ш связана с волновым вектором соотношением cu — uk, где и—скорость звука, мы немедленно получаем интересующее нас соотношение
в —up. (1.5)
Таким образом, при малых импульсах энергия возбуждения в бозе-жидкости линейно зависит от его импульса, причем коэффициент пропорциональности совпадает со скоростью звука.
При увеличении импульса зависимость е(р) перестает быть линейной и дальнейший ход кривой є (р) не может быть определен столь же простым способом. В этой связи представляет интерес приведенное ниже рассуждение, позволяющее сделать ряд выводов о зависимости е(р) при произвольных импульсах !).
Энергия жидкости представляет собой функционал ее плотности р (г) и гидродинамической скорости V (г):
?(Р> ®) = -g- JVi>2rf/4-?(i)(p), (1.6)
где E^— часть энергии, не зависящая от скорости. Мы будем рассматривать малые колебания. При этом p(r) = p-f-—|— Sp(/"), где р — равновесная плотность, не зависящая от координат, a Sp(г) и v(r) — малые величины, описывающие колебания. Заметим, что по определению
р" = J р(г) dr, JSp dr = 0.
С точностью до величин второго порядка малости по Sp и V функция р (г) в первом члене правой части (1.6) может
') Вывод, который приводится ниже, принадлежит Л. П. Пи-таевскому [4]. § 1] элементарные возбуждения. свойства жидкого He4 17
быть заменена ее средним значением р. С той же точностью выражение для E^' запишется в виде
Ew(p) = Ew (р) +
+ / ф (г) Sp (г) dr +1 f f 9 (г, Ґ) 8р (г) 8р (Ґ) dr dr'.
Функции ф(г) и ср(г, г') определяются только свойствами жидкости, не возмущенной колебаниями, т. е. однородной и изотропной, в силу чего функция ф (г) должна быть константой: ф (г) = const = ф, а ср (г, Ґ) зависит только от I г—г' |: ср (г, г') —<р(|г—г'|). Член первого порядка в разложении Ь ' поэтому просто пропорционален J 8р (г) dV S= 0. Окончательно,
? = ?(1) (р) + |/ tfdr + \f J ?(|r —r'|)8p(r)8p(r')drrfr'.
Скорость г> связана с колебаниями плотности уравнением непрерывности
P —(— div (р®) = 0,
которое с точностью до членов первого порядка ПО 8р И V можно записать как
p-j-pdiv © = 0. (1.7)
Перейдем теперь к компонентам Фурье:
