Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим для определенности термодинамические свойства. Макроскопическое состояние системы определяется заданием трех независимых термодинамических переменных, например, давления Р, температуры T и среднего числа частиц в системе N. С квантовомеханической точки зрения замкнутая система из N частиц характеризуется своими уровнями энергии En. Выделим в этой системе некоторый объем, такой, чтобы новую подсистему все еще можно было рассматривать как макроскопическую. Поскольку число частиц, в такой подсистеме по-прежнему очень велико, а силы взаимодействия между частицами действуют на расстояниях порядка атомных, то, отвлекаясь от пограничных эффектов, рассматриваемую подсистему можно в свою очередь считать замкнутой и характеризовать уровнями энергии при данном •10 общие свойства систем из многих частиц [гл. i
числе частиц в подсистеме. Поскольку на самом деле рассматриваемая подсистема взаимодействует с остальными частями замкнутой системы, то она не имеет строго фиксированных энергии и числа частиц и с конечной вероятностью может находиться на любом уровне.
Как известно из статистической физики (см., например [1]), микроскопический вывод термодинамических формул основан на так называемом распределении Гиббса, которое устанавливает следующую вероятность нахождения подсистемы в состоянии с энергией Enjу и числом частиц N:
_ Ekn-V-N
wnN = Z~4~ т ¦ (1Л)
В этой формуле T означает абсолютную температуру, JJ, — химический потенциал, a Z — нормировочный множитель, который определяется из условия
S®«JV=1- (1.2)
nN
Согласно (1.1) имеем:
Z = ^e' г . (1.3)
n.V
Величина Z называется полной статистической суммой. Если уровни энергии EnN известны, то статистическая сумма может быть вычислена. Это сразу определяет и термодинамические функции, так как величина Z связана с термодинамическим потенциалом ? (потенциал в переменных V, Т, jj.) соотношением
Q =-7111 2. (1.4)
Очевидно, проще всего по этим формулам могут быть вычислены термодинамические функции идеальных газов, поскольку их энергия складывается из энергий отдельных частиц. Для системы большого числа взаимодействующих частиц определение уровней энергии в общем случае невозможно. Поэтому до сих пор взаимодействие между частицами в квантовой статистике удавалось учитывать только в том случае, если оно достаточно слабое. При вычислении термодинамических величин по теории возмущений практически удается найти только одно-два первых приближения. Для § 1] элементарные возбуждения. свойства жидкого He4 11
большинства физических задач, в которых взаимодействие отнюдь не мало, подход, основанный на непосредственном использовании формул (1.1) — (1.4), является нереальным.
Несколько особым является случай очень низких температур. При T-S-O в статистической сумме существенны уровни энергии, расположенные сравнительно низко над основным уровнем (слабовозбужденные состояния). Характер энергетического спектра системы в этой области энергий можно установить довольно детально, основываясь на весьма общих соображениях, справедливых независимо от величины и особенностей взаимодействия между частицами.
Для того чтобы последующие рассуждения были более ясны, рассмотрим в качестве примера колебательные возбуждения кристаллической решетки. До тех пор, пока колебания являются малыми, решетку можно рассматривать как совокупность связанных гармонических осцилляторов. Введя нормальные координаты, мы получим систему 37V (N — число атомов) линейных осцилляторов с собственными частотами Согласно квантовой механике, энергетический спектр
где — любые положительные целые числа или нуль. Различные наборы чисел Iil дают различные уровни энергии системы.
Колебания решетки могут быть описаны как суперпозиция монохроматических плоских волн, распространяющихся в кристалле. Каждая волна характеризуется волновым вектором, частотой и некоторым номером s, определяющим тип волны. Возможность распространения волн различных типов приводит к тому, что частота си, рассматриваемая как функция волнового вектора k, не является однозначной и состоит из нескольких ветвей CO5 (&), причем полное число ветвей равно 3г, где г — число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку кристалла. При малых импульсах три из этих ветвей (так называемые акустические ветви) характеризуются линейной зависимостью частоты от волнового вектора Ws (к) = Us (6, ср) I k |. У остальных кривая Ios (&) начинается с некоторого конечного значения при k — Q и в области малых волновых векторов слабо зависит от k!).
') Более подробные сведения о спектре колебаний решетки содержатся, например, в книге Р. Е. Пайерлса [1а].
такой системы определяется •12
общие свойства систем из многих частиц [гл. I
Знание частотного спектра, уровней энергии и матричных элементов смещений атомов решетки (координат осцилляторов) дает, во всяком случае в принципе, полную возможность рассчитать как термодинамические, так и кинетические характеристики колеблющейся решетки. Однако на практике оказывается весьма удобным вместо картины связанных осцилляторов пользоваться другой эквивалентной картиной, которую можно получить с помощью квантово-механического принципа соответствия. Согласно этому принципу, каждой плоской волне можно сопоставить совокупность движущихся «частиц». Волновой вектор k будет определять импульс этих частиц1), а частота u>s(k)—их энергию 2). Возбужденное состояние решетки можно представлять себе как совокупность таких «частиц» (их называют фононами), свободно движущихся в объеме тела. Этому вполне соответствует выражение для энергетических уровней системы, которое аналогично энергии идеального газа.
