Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
~ = -N = iV (10.25) ГЛАВА III
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ1)
§ 11. Температурные гриновские функции
1. Общие свойства. До сих пор мы изучали свойства многих частиц при абсолютном нуле температуры. При конечных температурах задача значительно усложняется.
Обычный «классический» метод статистической физики состоит в непосредственном вычислении термодинамических величин системы как функции ее температуры и плотности. При этом, поскольку фактически никакая задача такого рода не может быть решена точно, ответ выражается в виде разложения по степеням какого-нибудь малого параметра. Применяя обычную термодинамическую теорию возмущений (см. книгу Ландау и Лифшица [1]), мы легко написали бы два первых члена ряда теории возмущений для свободной энергии F:
Fn-E
-(0)
F = F0 +
V е
v ппс
?<°) _ ?(0)
F-F'
(0)
C-(O)
+
IT
f11- е„
V е
iJ Рассуждения и выкладки в этой главе в значительной степени дублируют соответствующие места гл. II. Мы, однако, сочли целесообразным сохранить этот параллелизм ввиду важности этих глав для дальнейшего. К тому же это позволит читателю, уже знакомому с методами квантовой теории поля и интересующемуся только температурной диаграммной техникой, начать чтение книги непосредственно с гл. III. § 11]
температурные гриновские функции
137
Однако написание следующих членов (не говоря уже о непосредственном вычислении) является само по себе достаточно нелегкой задачей. Суммирование же какой-либо бесконечной последовательности членов ряда представляется совершенно безнадежным. В связи с этим в статистике при конечных температурах делается особенно привлекательным применение диаграммной техники квантовой теории поля, оперирующей с гриновскими функциями и позволяющей очень наглядно представить структуру и характер любого приближения.
Изложенная в предыдущей главе диаграммная техника не допускает прямого обобщения на случай конечных температур. Диаграммная техника при конечных температурах может быть построена для особых величин — температурных гриновских функций, зависящих не от времени t, как гриновские функции, рассмотренные ранее, а от некоторого фиктивного мнимого «времени» — tx, изменяющегося в интервале от —ЦТ до нуля (Мацубара [29]).
Как и в технике при T= 0, в методе Мацубары вычисляются не сами термодинамические величины, а упомянутые температурные гриновские функции ©(/", х). Любой член ряда теории возмущений для них описывается соответствующей файнмановской диаграммой, и его вычисление производится по правилам файнмановской техники: каждой линии диаграммы сопоставляется температурная гриновская функция свободной частицы (г, х), каждой вершине диаграммы — оператор взаимодействия и т. д. Единственное отличие по сравнению со случаем T= О состоит в том, что вместо интегрирования по времени t от — оо до оо в каждой вершине диаграммы производится интегрирование по х от 0 до 1/7".
Фигурирующая в диаграммной технике при ТФ 0 температурная гриновская функция ® определяется как
Ti;r2. X2) =
a+iiJV-At е г е'
X1 > х2;
8+1ihr-H е т Є
MT1-T^jJ- (Га) ,
T1 < X2. (11.1) 138 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
Здесь ф (г), ф+ (г) — шредингеровские операторы системы, а знаки «плюс» и «минус» относятся, соответственно, к случаям ферми- и бозе-частиц. Операция Sp означает взятие суммы всех диагональных элементов матрицы. При этом суммирование производится как по числу частиц в системе, так и по всем возможным при заданном числе частиц состояниям системы. Таким образом, © по определению является функцией температуры T и химического потенциала ja. Стоящая в экспоненте в (11.1) величина S представляет собой термодинамический потенциал в переменных Т, V, |i(tf2 = — SdT-— PdV — N dp). Напомним, что операция Sp _
есть обычное статистическое усреднение по Гиббсу; эту операцию мы будем часто обозначать символом (...).
Температурная гриновская функция фонона 35 определяется аналогичным соотношением:
SHr1, X1; r2, X2) =
-Spt/A"^^)^'-^^)]' X1 > т2.
-----г а -і /
-Sp |_<ГПг А (г2) ей (г,)J • T1 < X2,
где ср(г) — шредингеровский оператор фононного поля.
Из определений (11.1), (11.2) сразу видно, что температурные гриновские функции зависят только от разности «времен» X1 — х2. Если к тому же система является изолированной и однородной, то они зависят, разумеется, лишь от разности пространственных координат: © = © (гг — r2, X1 — х2). ®(т) является разрывной функцией переменной х, испытывая при значении т = 0 скачок. Величину скачка можно вычислить непосредственно из определения ©. Для случая фермиевских частиц
®(T)-@(-T)U+0 =
( 3 + 1xN-Й
= Sp je г [фа(г Jфр+ (r2) -J-фр+ (г2)фа(rj)]J
и, согласно правилам коммутации ф и ф+,
А© = -8.,8 (г,-г2).
Величина скачка ©-функции бозе-частиц совпадает с величиной скачка для фермиевского случая. § 11] температурные гриновские функции 139
Выражения (11.1), (11.2) можно представить в форме, аналогичной определению гриновской функции при равной нулю температуре. Для этого введем «гайзенберговские» операторы частиц, зависящие от «времени» т, по формулам')
