Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Просуммировать все диаграммы для гриновских функций в общем случае невозможно. Можно, однако, произвести частичное суммирование, так чтобы после этого осталась сумма только по разным неприводимым собственно энергетическим частям.
Рассмотрим любую диаграмму для О-функции. Она начинается с линии G1-0K Затем стоит любая неприводимая собственно энергетическая часть. Если отсечь эти два элемента от диаграммы, то остаток будет опять начинаться с G(0> и может содержать любое количество любых собственно энергетических частей. Таким образом, остаток опять представляет
Любую часть диаграммы, соединенную с остат- 122 методы квантовой теории поля При T=O [гл. tf
собой полную О-функцию. Отсюда получаем следующее уравнение для О:
G = G<°>-(-G<0>IG или, что то же самое,
0-1 =Ow"1-!. (10.1)
где
2 = 2, + ? + ?+... (10.2)
представляет собой сумму различных неприводимых собственно энергетических частей. Величину E мы будем называть полной неприводимой собственно энергетической частью или массовым оператором.
Вычисление E может быть осуществлено с помощью диаграмм, отличающихся от диаграмм для G отсутствием двух концевых О(0)-линий. Однако в тех случаях, когда нельзя ограничиться вычислением первых диаграмм и необходимо просуммировать бесконечный ряд, как правило, оказывается удобным выразить 2 через другую совокупность диаграмм, которую мы назовем вершинной частью. Эта процедура зависит от конкретного вида взаимодействия и будет продемонстрирована на примере взаимодействий, рассмотренных в§ 9.
А. Двухчастичное взаимодействие. В этом случае удобнее всего воспользоваться симметрнзованной формой теории. Член первого порядка в E соответствует диаграмме на рис. 9, без краевых О'0'-линий. Из членов следующих порядков выделим, прежде всего, все диаграммы, в которых собственно энергетическая часть связывается с основной О-линией посредством одного заштрихованного квадрата Г(0). Примером может служить рис. 10, а. Совершенно очевидно, что совокупность всех таких диаграмм для S может быть получена из диаграммы первого порядка добавлением всевозможных собственно энергетических частей к внутренней О(0)-линии. При этом последняя преобразуется в полную линию G. Таким образом, совокупность всех диаграмм для 2, связанных с основной О-линией одним квадратом Г(0), равна
Zty(P) = I f I^T Г <°> PvP) Оц(Рі)- (Ю.З) § 10] УРАВНЕНИЕ ДАЙСОНА. ВЕРШИННАЯ ЧАСТЬ
123
о
Условимся изображать полную G-функцию в виде жирной линии. Тогда величина 2(1) может быть изображена в виде диаграммы на рис. 22.
Самой простой диаграммой, не входящей в эту последовательность, является собственно энергетическая часть на рис. 10, в. Некоторые из более сложных диаграмм могут быть получены включением собственно энергетических частей во внутренние G<0)-линии. Однако таким способом нельзя получить диаграмму на рис. 11. Тем не менее ее тоже можно рассматривать как некоторое усложнение диаграммы рис. 10,8. Если мы отсечем три внутрен- Рис. 22. ние G(0)-линии, исходящие из левого квадрата Г(0), от остальной части диаграммы, мы увидим, что диаграмма 11 получается из диаграммы 10, в путем замены правого квадратика другой диаграммой, изображенной на рис. 23.
Нетрудно видеть, что вообще все диаграммы для 2, не входящие в (10.3), могут быть получены из 10, в !) с IlO-
_____ мощью вставки собственно энерге-
? —Cf тических частей во внутренний G(0)-
линии и замены правого квадра-Рис. 23. тика совокупностью всех диаграмм
с четырьмя концами, не распадающихся на несвязанные части. Эту совокупность мы назовем вершинной частью, будем обозначать ее посредством Га3і ї8 (P1, P2', р3, р4) и изображать ее на диаграммах в виде заштрихованного квадрата. Отметим, что, так же как и в Г<0), 4-импульсы, стоящие в Г, должны удовлетворять законам сохранения: рх -\-р2 = P3 -}- р4.
Таким образом, вторая часть S изображается диаграммой на рис. 24 и равна
Ii2? = — \ f ГІ°> ^8(р, P1; P2, PjFP1- P2) Otiv (P2) Gv5 (P1) X X Gst (р + P1 — P2) Ги> v? (р2, P-I-P1- P2, P1, р) •
(10.4)
') Диаграммы 9 и 10, в, являющиеся основой для получения более сложных диаграмм, иногда называют скелетными. 124- методы квантовой теории поля при T=O [гл. ii
Подставляя S = S(1) -|-?(2) в уравнение (10.1), получаем:
[«О - І (P)J (P) -і f Г <g Г(Т (PP1; P1P) OrA (P1) G1? (P)+
+ TIч* Л: Р* Р\ +P — Р2) 0Tll, (P2) Ov5 (P1) X X G5-, (р jTP1-P2) X XrM>vp(ft, = (10.5)
Это уравнение, связывающее G-функцию с вершинной частью, называется уравнением Дайсона. Здесь мы получили это уравнение путем суммирования диаграмм. Ниже будет произведен аналитический вывод уравнения Дайсона и более подробное рассмотрение вершинной части.
Б. Э л е к т р о н - ф о н о н н о е в з а и м о-Рис. 24, действие. Наиболее простая диаграмма для S в гриновской функции электрона соответствует рис. 25, а. Совершенно аналогично предыдущему нетрудно убедиться в том, что эта диаграмма является единственной скелетной диаграммой, т. е. все более сложные диаграммы могут быть получены
с помощью добавления собствен- — ^ * V
