Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ш
-IxI7S// / (Л т) д (tri) ©l0) (Jf, г) Д* (S) ©L°>, (s, т)х
О)
X A* (I) ©-L (I, r)dldmds. (38.8)
Существенные расстояния в интегралах в этом уравнении порядка S0, поскольку, как это видно из (38.4) и (38.5),
функция ©Lu)(r, г') экспоненциально убывает при | г—г' j > S0. Между тем изменение щели Д(г) и поля А(г) происходит на расстояниях порядка глубины проникновения, которая вблизи критической температуры много больше ^0. По тем же причинам фаза ср (г, г') в (38.5) может быть написана в виде
ср (г, ґ)~е(А(г). r — r').
Вблизи Tc А (г) — Я8(Го|/~1—, поэтому фаза ср (г, г')
мала и экспоненту можно разложить по ср.
Рассмотрим сначала первый член в правой части. Пусть
К (I, Г) =T 2 ©Lu) (I, г) (?1 (I, г) = K0 (I — г) е^ (А W, t-ч.
ш <
Воспользовавшись представлением (38.4) для функции Грина в координатном пространстве и произведя суммирование 418
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
по частотам, найдем для K0(R) следующее выражение:
^0 = (?* ;h 2Itr • (38'9)
Поскольку, как мы уже отмечали, все величины меняются мало на расстояниях порядка I0, можно в интеграле
J К о (Z — г) еГ1е W. t-D Д* ([) dl
разложить все величины в ряд по степеням (I — г) около точки г. Ограничиваясь членами второго порядка по (I — г), получим:
А* (Г) f K0 (R) dR + I (Jf + 2ieA (г) )* Д* (г)/ K0 (R) R2 dR.
Функция K0(R), согласно (38.9), при R= 0 обращается в бесконечность как 1 /Ri. Поэтому формально первый из этих двух интегралов расходится. Обрезание расходящегося выражения удобнее произвести в импульсном пространстве. В результате мы получаем знакомое выражение:
/K0(R)dR = ^ f th(^)f.
о
Второй член при интегрировании вблизи R = 0 особенностей не содержит. Вычисляя этот интеграл непосредственно в координатном представлении, получим:
J R2K0 (R)dR= ]^3J,* • •
В члене третьего порядка по |Д| в уравнении (38.8) зависимостью Д(г) от координат можно пренебречь. Этот член равен поэтому
+г2)2
= ( ІЙтЩт-**<'> І'і2' § 38] СВЕРХПРОВОДНИК B ПРОИЗВОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 419
Собирая вместе полученные результаты, найдем, что вблизи критической температуры функция Д* (г) удовлетворяет следующему уравнению:
{МІ+2і«д« г+т [ |!]}4-w=0'
(38.10)
где
7С(3)
6 (%тсу f
В отсутствие поля Д постоянно по пространству и уравнение (38.10) совпадает с первыми членами разложения (36.4).
Перейдем теперь к вычислению плотности тока У(г). Формула (37.5) предыдущего параграфа, конечно, верна и в данном случае. Пользуясь, однако, тем, что величина Д мала по сравнению с Tc, мы будем и здесь производить разложение по А и А до первых неисчезающих членов. Заметим, что член в плотности тока (37.5)
- 2e*AJr) &r=l+0(r. Г) = -J А (г) N.
Здесь N — плотность полного числа электронов, которая равна своему значению для нормального металла. Изменение N противоречило бы условию электронейтральности. (Решение (38.7) удовлетворяет этому требованию, т. е. если
@и(г. /-O = CtV. г')+ 8©« (г, г'), то г28@ш(г. г) =е 0).
U)
Подставляя (38.7) в (37.5), найдем:
^ 21 (V,.-V,) CV, г')-?лм(г)а- о,
О)
поскольку в постоянном магнитном поле ток в нормальном металле равен нулю. Таким образом,
m = I (V, - V^/fV S6l (л Г'),
О)
где
8®» (г. г') =
= — J <Е0) (г. Г) Д (0 ©10) (то, г') Д* (то) (E0I (то, 0 dm dl. 420
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
Подставляя сюда (38.5), разлагая все величины около точки г до членов первого порядка и опуская члены, которые дают нуль при интегрировании по углам, получим:
где
С =4 7S / / ([(v^0' С - 0) (« -') - C-OX
CU
X (УМІ (т — г))] • т) (A (т — I) dm dl.
Вычисление С удобно произвести в компонентах Фурье,
заменяя обычным образом Не останавливаясь на
этом довольно простом вычислении, приведем окончательный результат:
r__ 7С (3) N 16 (Я TcY ¦
Система уравнений (38.10) и (38.11) описывает свойства сверхпроводников в постоянном магнитном поле вблизи Tc.
Введем волновую функцию (Ji (г), пропорциональную Д (г):
(38Л2)
Взяв комплексно сопряженное от уравнения (38.10) и подставляя всюду выражение (38.12), приведем эти уравнения К следующему виду:
Ыг (w-~2,еЛ <'>)"+? [ 1^r - Tl t P])+е->=°-
m—ZW-W-g-ww. <38л3)
Теперь становится понятным смысл введения волновой функции (J) (г): получающиеся уравнения имеют вид, похожий на квантовомеханические уравнения для частицы с массой 2т и зарядом 2е. Физически этот результат совершенно ясен, поскольку А (г) имеет смысл величины, пропорциональной волновой функции связанной пары, или, точнее, волновой функции относительно координат ее центра инерции. Интересно, что подобного вида уравнения были предложены § 39] теория сверхпроводящих сплавов 421
в феноменологической теории Гинзбурга—Ландау [67], где, однако, фигурировал однократный элементарный заряд. Помимо этого существенного изменения, новая теория сверхпроводимости, подтверждая правильность теории Гинзбурга — Ландау вблизи Tc, дает возможность вычислить фигурирующие в последней теории постоянные.
