Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Q (A, W0): Зтй 1
Л Г\
Д2 _ ш' („' _ (O0)
414
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
Полученное выражение, рассматриваемое формально как функция переменной CO = Z(J)0, представляет собой аналитическую в верхней полуплоскости 0) функцию, поскольку в данном случае контур интегрирования при Im со > 0 никогда не пересекает никаких особенностей подынтегрального выражения. _
Интересующая нас величина Q(k, ш) при ш > 0 может теперь быть непосредственно написана. При этом возникают два случая: а) ш < 2Д и б) ш > 2Д. Вычисление в обоих случаях производится элементарно в соответствии с рис. 100, на котором в скобках указан выбор знака мнимой части функций на различных берегах разрезов. Приведем получающийся результат [64, 65]: а) со < 2Д
Д+ш
Qib' Ш) = й,ш{ / 2Т лґ—2— /¦ -<*">' +
' ' [д17 11 у « — д2 Y&2 — к — ®)2
< /7th gl-th ^bifl ,
J L 2T 2T y(V+<B)»_A« j
( Ш + Д
Зя ! /• «1 со' (о/ — со) + A2
4vw\j-a 27V ^1A2/Д2
¦ Д2 Vr(со' — со)2 — Д2
OO І
+ / f [th gl - th ЗД ,-J!^' +-»> + дг rfu/ ¦
^ J L 2T 2Т J у_ Д2 + ^2 _ д2 J
§ 38. Свойства сверхпроводника в произвольном магнитном поле вблизи температуры перехода
Особый случай представляют свойства сверхпроводника вблизи критической температуры. Величина щели при этом достаточно мала, вследствие чего все уравнения значительно упрощаются. Из результатов § 36 (выражение (36.4)) легко усмотреть, что в данном случае возможно разложение урав- § 38] СВЕРХПРОВОДНИК B ПРОИЗВОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 415
нений по величине 1 — TjTc 1. Кроме того, как мы уже отмечали в предыдущем параграфе, вблизи Tc глубина проникновения слабого магнитного поля т. е. все величины в поле, в том числе и само поле, меняются на расстояниях, гораздо больших параметра теории I0— v/Tc. Указанное обстоятельство позволит в этой области температур построить теорию (Горьков [66J), описывающую поведение сверхпроводников в произвольных магнитных полях (порядка величины критического поля).
С этой целью перепишем снова уравнения (37.6)
+ ^ } ©ш (г, г') + Д (г) s: (г, г') = 8 (г - г'),
(sF +ieA(г) Г + fxI & (г- r')-A* W ®»(>¦• rO = 0
вместе с уравнением, определяющим величину щелк:
ДЧг) = |Х| 7-SS+(г. г). (38.1)
ш
Поскольку |Д| мало, разложим функцию gm (г, г') по степеням (Д| и, подставляя это разложение в (38.1), найдем уравнение для Д*(г). При этом полезно ввести компоненты Фурье функции Грина ©щ'с. r') Для электронов в нормальном металле (в данном поле А (г)). Уравнение, которому удовлетворяет ©Uг'), можно записать двояким образом:
+ ґ) = Ь(г-ґ) (38.2)
или
{^+2^(^ + ^(/"'))2 + !*} r') = 8(r-r'). (38.2')
С помощью функции г'), привлекая второе из
этих уравнений, приведем систему уравнений для ©ш и gm к интегральной форме:
®ш(г, г') = CV. r')—[ CV- Г) A (l, г') dl,
(38.3)
& (Г. г') = J ©10)ш (/, г) Д* (І) (/, г') dl. 416
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
Прежде чем переходить к дальнейшему, найдем, чему JH
©(ш0)(Г — Г') равна (R=\r — ґ \)
равна функция ®10) (г, г'). В отсутствие магнитного поля
SLoj(K) =
т lp,R-^-R
2kR Є при со > О,
»
т -ip.n-M-R ЪГяе " при ш < 0.
(38.4)
В этом можно убедиться или непосредственной подстановкой (38.4) в уравнение (38.2) в отсутствие поля, или воспользовавшись известным нам выражением для компоненты Фурье ©<?(/>)= [Ло —У1:
®»0) W = Щ» / {р) dPeim'
iPuR+l — R -Ip0R-I-R
т j е и -е и
(2я)2 iR J іш — 5 5
(нас интересует, разумеется, вид функции ®ш'(Я) на расстояниях, больших по сравнению с атомными: Rp0^$> 1). Интегрируя по X, непосредственно получаем (38.4).
Функция (B^(R) быстро осциллирует. Поскольку p0R1. это обстоятельство позволяет для определения функции ©шЧл г') в магнитном поле применить своего рода квазиклассическое приближение. В самом деле, будем искать ©LV. Ґ) В виде
©(f)(г, г') = {г• '")©L0) (г -Ґ), (38.5)
где ср (г, г)=0. Подставляя (38.5) в (38.2) и дифференцируя только главные члены, найдем уравнение для добавки ср(г, г') к действию
(я, VrCp (г, r')) = e(n. А (г) у, (M^tIt). (38.6)
В этом уравнении мы отбросили квадратичные по А члены,
ерп
поскольку радиус закручивания электронов в интересующих нас полях очень велик по сравнению с глубиной проникновения: р0^> еА~ еНЬ (8— порядок глубины проникновения). § 38] СВЕРХПРОВОДНИК B ПРОИЗВОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 417
Вернемся теперь к уравнениям (38.3) и произведем в них разложение по степеням | Д (г) J. Как видно из (38.4) и (38.6), это разложение в gj (г, г') достаточно произвести до членов третьего порядка по | Д | включительно. Что касается функции Грина ©ш(г, г'), то ее достаточно знать с точностью до членов второго порядка по |Д|:
(Г, г') = <§L0) (Г, г') — J ®L0) (г, l)Ml) ©L0) (т, ґ) Д* (Ht)X
X ©-L (т, I) dm dl. (38.7)
Подставляя это выражение во второе из уравнений (38.3), найдем разложение г'), с помощью которого из (38.1)
получаем следующее уравнение относительно Д*(г):
Д* (г) = I XI 7 ^ / ©l0) (I, г) Д* (I) ©(.0)ш (I, г) dl —
