Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
5=1
где aq — непременно целое число.
Как видно, разложение данного представления на неприводимые составляющие осуществляется просто, если известны характеры всех неприводимых представлений. Простейший ответ на вопрос, как найти характеры неприводимых представлений, заключается в том, что нужно искать их в таблице. Тем не ме-' нее мы кратко изложим основы их вычисления.
Если в соответствии со сказанным в § 1 рассматривать элементы группы как линейные операторы, то из определения
(12.12) вытекает, что оператор ^^ = Ri + R2 + ... + Rgi являющийся суммой всех элементов данного класса (g) группы, коммутирует со всеми элементами группы, и наоборот, всякий оператор, который коммутирует со всеми элементами группы, является суммой операторов Поэтому очевидно, что произведение Vip)V'q) также является суммой операторов cS9 что можно записать в виде
= 2aspqVis). (12.17)
Коэффициенты а^ получаются непосредственно из таблицы умножения группы. Рассмотрим теперь неприводимое представление 3)і размерности /г-. Матрицы, соответствующие операторам коммутируют со всеми матрицами этого представления и поэтому должны быть кратны единичной матрице. Оператор представляется матрицей
С*/» = ?^/, (12.18)
где / — единичная матрица, а — число.
Сравнивая следы матриц в обеих частях выражения (12.18), получаем
Vf = IfT = W (12.19)
H Xi
где число X^ = Ii является характером класса, состоящего из единичного элемента. Подставляя полученный результат в соот*
1 Последнее утверждение ошибочно (см. [1]). — Прим. ред. гл. 12. основные положения теории групп 33
ношение (12.17), находим, что
yip) v(<7) , . v(s)
жЪгЫя^^ЪWS" (12-2°)
Л Л S= 1
причем мы опустили здесь индекс /, различающий отдельные представления iZ);.
Если ввести обозначение yis) =%(s)/X(1)> причем yW = 1, то соотношение (12.20) перепишется в виде
г
Uip^gpgq = Il asp/s)gs, (12.21)
S=I
и можно решить полученные уравнения относительно у следующим образом. Рассмотрим линейную функцию
?=2 а8уМ (12.22)
S=I
с произвольными коэффициентами as. Согласно соотношениям (12.21), последовательные степени ?2, Br также являются линейными функциями от y(s) вида
S=I
............(12.23)
Br= І
S=I
причем коэффициенты ?s, ..., ps выражаются через а8 с использованием тех же соотношений (12.21). Можно исключить неизвестные у^ из г+\ линейных уравнений (12.22), (12.23) и y(l) = 1 и получить секулярное уравнение г-й степени для В:
Br+ ClBr"1+ ... +Cr = O (12.24)
с известными коэффициентами Cb ..., Cr.
Решая системы линейных уравнений (12.22), (12.23), соответствующие каждому из г корней уравнения (12.24), мы получаем набор значений y(s\ следовательно, набор характеров, если известны числа т- е- размерности Ц неприводимых представлений. Последние часто однозначно определяются соотношением (12.14): 11+... + Ц = т.
Теперь мы можем перечислить неприводимые представления группы, вычислить их характеры и разложить любое приводимое представление на неприводимые. Это позволяет нам предсказывать, как будут расщепляться уровни энергии под действием возмущения той или иной симметрии. 34
часть iii. теоретический обзор
§ 5. Расщепление вырожденных уровней энергии под действием возмущения низкой симметрии
Рассмотрим систему, гамильтониан которой инвариантен относительно преобразований группы G0, и р-кратно вырожденный уровень энергии W0 этой системы. Если, например, речь идет об уровне J свободного иона, то группа G0 — это группа вращений, а кратность вырождения /7 = 2/+1. Под действием операторов группы G0 р собственных функций xPii представляющих собой полную систему для совокупности S^o всех собственных функций, относящихся к собственному значению W0i преобразуются так, как об этом говорилось в § 2 этой главы, и осуществляют линейное р-мерное представление 2)о группы G0, которое мы будем сначала полагать неприводимым. Пусть система подвергается возмущению, гамильтониан V которого обладает более низкой симметрией, чем гамильтониан Более низкая симметрия означает, что лишь часть преобразований группы G0i составляющая подгруппу G этой группы, не меняет оператора V. Линейные преобразования функций 41*? в результате применения операций, относящихся к более узкой группе G, осуществляют некоторое представление 3) этой группы, которое может и не быть неприводимым, как показывают следующие рассуждения. Процедура приведения представления SD0 группы G0 заключается в том, что все матрицы 3)о путем преобразования подобия приводятся к квазидиагональному виду (12.6), а наше предположение о неприводимости 3>0 означает, что этого сделать нельзя. Поскольку же представление 3) группы G включает лишь часть матриц G0, мы должны привести преобразованием подобия к квазидиагональному виду меньшее число матриц, что может оказаться осуществимым.
Мы можем также сказать, что никакое подмножество S' совокупности &о не было инвариантно относительно всех преобразований группы Go, но не исключено, что какое-то подмножество может оказаться инвариантным относительно части G этих преобразований.
