Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
Покажем теперь, что при E > V- существует только сплошной спектр. Предположим для простоты, что V- соответствует правой границе, т.е. V(x) V- при х оо. Тогда при больших х в уравнении (1.17) можно заменить V(a;) на его предельное значение V- и получить
ф"(х) + я2ф{х) = 0, * = \Щг(Е - V-) >
Здесь под корнем стоит положительная величина и берется арифметическое значение корня. Общее решение этого уравнения имеет вид
ф(х) = Asin(xx) + Bcos(xx) 28
Глава I. Одномерное движение
с произвольными коэффициентами А и В. Никаким выбором коэффициентов А к В нельзя получить квадратично интегрируемое решение, следовательно, при E > V- точек дискретного спектра нет. В то же время при любом E > V- решение остается ограниченным при X —^ оо. Это указывает на то, что каждое E > V- является точкой сплошного спектра. Более аккуратно это можно показать, поставив нулевые граничные условия на конечном интервале и устремив границы интервала к оо и — оо.
Дискретный спектр может существовать только при E < V-. Для таких значений E уравнение (1-17) при х —>• оо может быть записано в виде
ф"(х) - a2il>(x) = О, a = ~ Е) > 0.
Здесь под корнем опять стоит положительная величина и берется арифметическое значение корня. Общее решение этого уравнения имеет вид
¦ф(х) = Aieax + Bie~ax, X оо.
Отсюда видно, что существует решение экспоненциально убывающее справа, т. е. при х —> оо. Оно получается, если положить A1 = 0.
Аналогично при х —> —оо уравнение (1.17) может быть записано в виде
г (x) - 0>ф(х) = О, ? = \j^(v+ - е) > 0.
Поскольку V+ > V-, под корнем стоит также положительная величина. Общее решение этого уравнения имеет вид
¦ф(х) = A2e?x + B2e~?x, X -» -оо.
Решение, экспоненциально убывающее слева (при х —> —оо), получается, если положить B2 = 0.
Если можно найти такое значение Е, при котором решение, экспоненциально убывающее слева непрерывно и гладко (с непрерывной производной) перейдет в решение, экспоненциально убывающее справа, то при данном E существует квадратично интегрируемое решение уравнения (1.17), следовательно, это значение 1.5. Сравнение движения квантовой и классической частиц 29
E соответствует точке дискретного спектра энергии. Существуют ли дискретные уровни энергии для рассматриваемого потенциала V (ж) и если существуют, то каково их число, определяется конкретным поведением потенциала V(x) на всей оси х. В частности, если Vmin = У-л т.е. если V(x) > V-, то дискретных уровней в таком потенциале нет. Действительно, для любой квадратично интегрируемой функции значение энергии не может быть меньше V-, так как значение кинетической энергии положительно, а значение потенциальной энергии в этом потенциале не меньше V-. Для существования дискретного уровня энергии необходимо, чтобы наименьшее значение потенциала Vm;n было строго меньше его предельных значений V(—оо) и V(oo). Если это условие выполнено, то независимо от вида потенциала в нем существует хотя бы одно связанное состояние (существуют квадратично интегрируемая волновая функция и оответствующий ей дискретный уровень энергии). В этом состоит особенность одномерной задачи. В трехмерном случае для того, чтобы в потенциальной яме появилось связанное состояние, яма должна быть достаточно большой. Число дискретных уровней энергии определяется тем, как потенциал V(x) стремится к своему предельному значению V-. Если он стремится к V- сверху или если он стремится к V- снизу, но разность V (х) — V- убывает быстрее чем 1/х2, то число уровней дискретного спектра конечно. Если V (х) стремится к V-снизу и разность V(x) — V- убывает не быстрее чем 1/х2, то число уровней дискретного спектра бесконечно велико. Так, например, обстоит дело в случае потенциала, который на больших расстояниях ведет себя как потенциал притяжения и убывает по кулоновскому закону.
1.5. Сравнение движения квантовой и классической частиц
Движение классической частицы мы описываем с помощью траекторий, а квантовой частицы — с помощью волновой функции. Вследствие соотношения неопределенноси Гейзенберга у квантовой частицы нет траектории. Тем не менее мы можем и квантовую, и классическую частицы описывать в одних и тех же терминах, поскольку для классической частицы можно ввести понятие плотности вероятности найти частицу в данной точке, т. е. понятие, кото- 30
Глава I. Одномерное движение
рое является естественным для квантовой частицы. Таким образом, мы можем сравнивать, как зависит от координаты х плотность вероятности обнаружения классической частицы ркп(х) и квантовой частицы ркв(х)-
Исследуем движение классической частицы с полной энергией Е, в потенциальной яме, изображенной на рис. 1. Частица будет совершать колебания между двумя точками Xi и X2- Эти колебания будут периодическими, хотя в общем случае они не будут гармоническими. Рассмотрим частицу, находящуюся в некоторой точке X внутри ямы, справа от точки минимума потенциальной энергии, как показано на рис. 1.
О xI
Рис. 1. Потенциальная яма
Полная энергия частицы есть сумма кинетической и потенциальной энергии:
