Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
хч
J ipi(x)ipj(x)dx = 0.
Xl
24. Будем увеличивать длину интервала [х\,х2], которую обозначим d, и предположим, что при этом потенциальная энергия остается ограниченной сверху:
V(x) < V0, Vr Є [XljX2],
причем верхняя граница Vo потенциала не зависит ни от X1, ни от X2. Тогда при увеличении d расстояние EftJtl — Efi между соседними высоковозбужденными уровнями Ek » Vq будет убывать обратно пропорционально d. Это означает, что если мы ставим граничные условия на интервале бесконечной длины, то у частицы спектр энергий может быть сплошным частично или полностью.
В следующем разделе мы рассмотрим условия, накладываемые на волновую функцию исходя из физических особенностей рассматриваемой задачи. 1.2. Волновая функция
19
1.2. Волновая функция
В квантовой механике на волновую функцию ip (ж) из физических соображений накладываются дополнительные условия. Во-первых, поскольку квадрат модуля волновой функции в точке х имеет смысл плотности вероятности найти частицу в этой точке, то волновая функция должна быть нормируемой (интегрируемой с квадратом модуля). В случае бесконечного интервала — оо < х < оо для сходимости нормировочного интеграла волновая функция должна стремиться к нулю, причем достаточно быстро, при стремлении |х| к бесконечности. Следовательно, граничными условиями для волновой функции в случае бесконечного интервала является равенство нулю волновой функции на бесконечности. Отметим, что в этом случае не только сама волновая функция, но и ее производная обращается на бесконечности в нуль.
Во-вторых, для частицы должны иметь смысл импульс и кинетическая энергия. Это значит, что волновая функция должна удовлетворять таким граничным условиям, при учете которых, возможно построение самосопряженных операторов импульса и кинетической энергии. Проблема состоит в том, что операторы импульса и кинетической энергии являются неограниченными операторами (как импульс, так и кинетическая энергия могут принимать сколь угодно большие значения), а неограниченный оператор задан не во всем гильбертовом пространстве (но область его определения плотна в гильбертовом пространстве). Построение самосопряженного оператора (точнее, построение самосопряженного расширения неограниченного оператора) представляет собой довольно сложную математическую задачу, решение которой для операторов импульса и кинетической энергии в одномерном случае приводит к следующим результатам. Возможны только два типа граничных условий: один для бесконечного —оо < х < оо, а другой для конечного: Xi < х < X2 интервалов, для полубесконечного же интервала 0 < х < оо построить самосопряженный оператор импульса не удается. В случае бесконечного интервала на функцию следует наложить нулевые граничные условия
ф{-оо) = 0, ^(оо) = 0, (1.12)
т. е. в этом случае граничные условия не отличаются от ограничений вытекающих из условия нормировки волновой функции. В слу- 20
Глава I. Одномерное движение
чае конечного интервала на функцию необходимо наложить граничное условие
Ф(х2) = е^фіхг), а на первую производную — условие
Ф'(х2) = е^ф'іхг),
(1.13)
(1.14)
где a — произвольная вещественная константа, сщна и та же в (1.13) и (1.14).
Поясним, как получаются эти условия. Оператор А является самосопряженным, если оператор, сопряженный с А, совпадает с А. Поэтому самосопряженный оператор должен быть, в частности, симметричным. Напишем условия симметричности для операторов импульса
D /
фЦх)
-ih--dx
ф2(x)dx = I J фЦх)
-ih~ dx
фі(х) dx
и кинетическои энергии
о
/ ГЛх)
h2 &
2тпо dx2
¦ф.2(x)dx= І У Ф1{х)
H2 d2
2mo dx2
ф\{х)йх
Здесь фі и ф2 суть две произвольные функции из области определения операторов, а знак «*» означает комплексное сопряжение. Выполняя интегрирование по частям, получаем, что для симметричности внеинтегральные члены должны обращаться в нуль, т. е. должны быть выполнены равенства
Ф1(х)Ф2(Х)
= о,
¦Фі ---—
dx
= 0. 1.2. Волновая функция
21
Очевидно, что при нулевых граничных условиях ф(а) = 0, ф{Ъ) = О внеинтегральные члены обращаются в нуль для любого интервала: конечного Xi < X < Х2, полубесконечного 0 < X < оо или бесконечного —оо < X < оо. Следовательно, при нулевых граничных условиях рассматриваемые операторы являются симметричными. Однако кроме симметричности для самосопряженности необходимо, чтобы совпадали области определения исходного оператора и оператора сопряженного с исходным.
Оказывается, что при нулевых граничных условиях самосопряженными будут: оператор кинетической энергии для всех трех интервалов и оператор импульса для бесконечного интервала. Оператор же импульса для конечного и полубесконечного интервалов не является самосопряженным, и надо производить расширение, используя более общие граничные условия. Известно, что построить самосопряженное расширение для оператора импульса в случае полубесконечного интервала не удается. Для конечного же интервала оператор импульса получается самосопряженным при граничном условии (1-13) (нулевые граничные условия являются частным случаем условий (1.13)). Для того чтобы при этом оператор кинетической энергии остался самосопряженным, на производную следует наложить условие (1.14).
