Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Замечание 1.14. Глобальные гамильтоновы потоки. Пространство R2n в примере 1.8 можно заменить симплектическим1 многообразием M2n размерности 2п, a H — замкнутой 1-формой ui± (= dH). Тогда систему (1.9) можно записать в виде
х = Іші, х€ M2n, где I: Т*Mx —> TMx определяется как
uj(Iu) 1, ?) = u?i(?) при всех ? ? TMx.
Приведем теперь примеры систем с дискретным временем t Є Ъ. Пример 1.15. Преобразования тора. Пусть M — тор {(ж, у) mod 1}, снабженный мерой d? = dx dy. Автоморфизм tp определяется как
ір(х, у) = (х + ш1, у + 0)2) (mod 1), cji Є М.
Если 1, CJi, cj-2 рационально несоизмеримы, то каждая траектория группы
Wn Uzi
всюду плотна на M (см. приложение 1).
1CnMnneKTHMecKHM многообразием M2n называется гладкое многообразие с сим-плектической структурой, заданной замкнутой 2-формой и> ранга п. Пример: ш — dp Adq на R2". § 2. Абстрактные динамические системы
15
Пгимег 1.16. Автомогфизмы тога. M и /i — такие же, как в предыдущем примере, автоморфизм tp определяется соотношением
tP {х> У) = (ж + У, ж + 2у) (mod 1).
На плоскости это — линейное преобразование с матрицей У
1 V 1 2,
У
имеющей детерминант, равный 1. Следовательно, tp сохраняет меру ?. На рисунке 1.17 изображены образы множества А под действием сначала отображения tp, а затем отображения ср2. Матрица tp имеет два действительных собственных значения Ai и A2:
О < A2 < 1 < Ai-
Следовательно, при достаточно большом п образ tpn А имеет вид очень длинной и очень узкой полоски плоскости (х, у).
На T2 = M эта полоса располагается примерно в окрестности конечного отрезка орбиты системы:
X = 1, у = A2-I.
По теореме Якоби (пример 1.2), поскольку A2-I — иррациональное число, <рп А стремится к винтовой линии, всюду плотно заполняющей тор при п —» +00.
J
А /f(рА
\ ® 0 J Уду l/A
Рис. 1.17
§ 2. Абстрактные динамические системы
Определение 2.12. Абстрактной динамической системой (M, р, ipt) называется набор, состоящий из измеримого пространства M с мерой ? и группы Cpt автоморфизмов mod 0, сохраняющих меру
Kft А) = ц(А)
при всех t и всех измеримых A-, Lpt измерима на M х Ж.
2Относитсльно этих понятий см. приложение 6. 16
Глава 1
В дальнейшем (М, ?) — всегда пространство Лебега без атомов, т. е. изоморфно по модулю 0 отрезку [0,1], снабженному обычной мерой Лебега. В частности, ?(M) = 1.
Если (ft — дискретная группа, порожденная автоморфизмом f, то такую систему мы будем обозначать (М, ?, tp).
В дальнейшем мы будем опускать термин mod 0. Все рапсе рассмотренные системы принадлежат к числу абстрактных динамических систем. Каждое компактное риманово многообразие M, снабженное естественной мерой ?, ?(M) = 1, изоморфно отрезку [0, 1]. Пример 2.2 Схема Бернулли.
Пространство М. Пусть Zn = {0, 1, .... п — 1} — множество, элементами которого служат п первых неотрицательных целых чисел; M = Z^ — прямое произведение счетного числа экземпляров множеств Z„. Тогда элементы M двусторонние бесконечные последовательности элементов Zra:
т Є М, т = ... сі-1, а о, a i, ... , где сц Є Z„.
Измеримая а-алгебра множества M. Это — сг-алгебра, порожденная множествами вида:
A3i = {т I а, = і], і Є Z, je Z„.
Мера ?. Определим нормированную меру ? на Z„, положив ?(O) =Po, ¦¦¦ , ?(n- 1) =p„-i, ^pi = I.
Пусть ?{A\) = pj при всех і и j. Мера на сг-алгебре есть прямое произведение мер, т. е. мера пересечения различных генераторов A3i есть произведение их мер:
?{rn I Uil = J1, ... , aik = jk) = Pj1 ¦ ¦-Pjk
Очевидно, что (М, ?) образует пространство Лебега.
Автоморфизм tp. Это — сдвиг. Если т = (..., я,,;, ...), то
f{m) = (..., a'i,...),
где a'i = (ii-1 при всех і. § 2. Абстрактные динамические системы
17
Ясно, что ip биективное отображение; чтобы доказать, что оно сохраняет меру, достаточно рассмотреть сдвиг генераторов:
<f{A'i) = Ыт) I си = Л = Ы I = j] = А:>+1,
следовательно,
Обозначения. Динамическая система, построенная выше, называется схемой Бернулли. Ее принято обозначать В(р0, .... рп-і)-
Замечание. Случай соответствует игре «орел или решка», кото-
рую исследовал Я. Бернулли. Элементами M = Zf служат двухсторонние бесконечные последовательности исходов бросаний: 0 орел, 1 решка. Множество А® (соответственно А\) представляет собой множество исходов бросаний, в котором после г-го бросания выпал «орел» (соответственно выпала «решка»). Поэтому естественно положить
= prob(^) =
Пример 2.3. Преобразование пекаря. Пусть M — тор {(ж, у) mod 1}, снабженый мерой dx dy. Автоморфизм ip' определяется соотношениями
{(' 2х, і y^j mod 1, при 0 ^ х <
(2ж, i(y + l)J modi, при І ^ х < 1.
Для изучения Lp' удобно ввести индуцированное преобразование ф' в накрывающей плоскости (х, у). Действие ф' можно описать следующим образом: сначала совершаем аффинное преобразование квадрата, при котором в направлении Ox происходит растяжение в 2 раза, а в направлении оси Oy сжатие в 2 раза. Затем отрезаем правую половину от получившегося прямоугольника и помещаем ее сверху левой (см. рис. 2.4). Если А С M и число п стремится к +ос, то tp'пА состоит из «очень большого числа» отрезков, параллельных Ох.
