Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Теорема Якоби .................114
Приложение 2. Геодезические потоки на торе........116
Приложение 3. Движение Эйлера-Пуансо..........118
Приложение 4. Геодезические потоки на группах Ли . . . 119
Приложение 5. Простой маятник................120
Приложение 6. Измеримые пространства...........122
Приложение 7. Изоморфизм преобразования пекаря и схемы Бернулли ......................124
Приложение 8. Несовпадение на всюду плотном множестве пространственного и временного средних........126
Приложение 9. Теорема о равномерном распределении по модулю 1.............................128
Приложение 10. Приложения эргодической теории к дифференциальной геометрии....................130
Приложение 11. Эргодические преобразования торов .... 131
Приложение 12. Среднее время пребывания траектории в множестве...........................133
Приложение 13. Среднее движение перигелия ........136 Содержание
7
Приложение 14. Пример эндоморфизма с перемешиванием 141
Приложение 15. Косые произведения..............143
Приложение 16. Дискретный спектр классических систем 145
Приложение 17. Спектры АГ-систем...............151
Приложение 18. Условная энтропия разбиения относительно другого разбиения .......................157
Приложение 19. Энтропия автоморфизма а..........163
Приложение 20. Примеры римановых многообразий отрицательной кривизны .......................168
Приложение 21. Доказательство теоремы Лобачевского-Ада-мара................................177
Приложение 22. Доказательство теоремы Синая.......189
Приложение 23. Признак структурной устойчивости Андронова Понтрягина ........................192
Приложение 24. Пример Смейла.................195
Приложение 25. Доказательство лемм к теореме Аносова . 200
Приложение 26. Интегрируемые системы...........208
Приложение 27. Линейные симплектические отображения плоскости.............................213
Приложение 28. Устойчивость неподвижных точек.....217
Приложение 29. Параметрические резонансы.........219
Приложение 30. Метод усреднения для периодических систем .................................225
Приложение 31. Поверхности сечения .............228 8
Содержание
Приложение 32. Производящие функции канонических отображений .............................232
Приложение 33. Глобальные канонические отображения . . 239
Приложение 34. Доказательство теоремы о сохранении инвариантных торов при слабом возмущении канонического отображения...........................245
Приложение 35. Конструкция Смейла У-диффеоморфизмов 264
Список литературы.........................266
Предметный указатель......................278 Предисловие к английскому изданию
Основная задача механики заключается в вычислении или качественном изучении эволюции динамической системы с заданными начальными условиями.
Численные методы позволяют вычислять траектории на конечных временных интервалах, по неприменимы при бесконечном увеличении времени. Задача трех тел дает типичный пример: существуют ли произвольно малые возмущения начальных данных, при которых одно из тел уходит на бесконечность? На математическом языке задача заключается в исследовании траекторий векторного поля в фазовом пространстве. Будучи далеко пс решенной, данная проблема включает в себя различные области научного знания от теории вероятностей и топологии до теории чисел и дифференциальной геометрии. Никола Бурбаки наверняка простит нас за смешивание такого количества областей.
Максвелл, Больцман, Гиббс и Пуанкаре впервые предложили статистическое изучение сложных динамических систем, которое известно сейчас как эргодическая теория1. Однако математические определения и первые важные теоремы появились благодаря Дж. фон Нейману, Дж. Д. Биркгофу, Э.Хопфу и П.Р. Халмошу, да и то в тридцатых годах нашего столетия. В последние годы появилось новое направление, основанное па теории информации Шеннона. Основной результат, полученный Колмогоровым, Рохлиным, Синаем и Аносовым основан на глубоком исследовании класса сильно стохастических динамических систем. В этот класс включаются все достаточно неустойчивые классические системы. Среди этих систем особую роль играют геодезические потоки па пространствах отрицательной кривизны. Этот случай изучался Ада-маром, Морсом, Хедлундом, Хопфом, Гельфандом, Фоминым. С другой стороны, Синай доказал, что модель Больцмана Гиббса, которая является системой жестких сфер с упругими столкновениями, принадлежит также к этому классу, что доказывает «эргодическую гипотезу».
1BproflHMecKaH теория зародилась в механике, но применима к другим областям, такие как теория чисел. Например, как распределена первая десятичная цифра степени 2": 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, ...? (См. приложение 12.) 10
Предисловие к английскому изданию
Эта книга ни в коей мере не является законченным трудом по эр-годической теории, а ссылки — вполне исчерпывающими.
Представленная в этой книге работа основана на лекциях, прочитанных одним из авторов весной-осенью 1965 года, который также написал главу 4. Второй автор был ответственен за доказательства в главах 1,2 и 3.
