Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


F*(x) = P*{X<x}. (11.2.1)
Функция F* (х) — разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева, равная нулю левее наименьшего наблюденного значения с. в. X и единице — правее наибольшего. Теоретически она должна иметь п скачков, где п — число опытов, а величина каждого скачка должна быть равна 1/п — частоте наблюденного значения св. Практически, если одно и то же значение наблюдалось
11.2. ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ СОВОКУПНОСТЬ 435
несколько раз, соответствующие скачки сливаются в один, так что общее число скачков равно числу различных наблюденных значений с. в. Каждый скачок в точке Xi равен «кратности» 1{ значения х\ в статистической совокупности, деленной на число опытов п.
Например, для данных табл. 11.2.2 статистическая функция распределения F*(x) ведет себя следующим образом: до точки X = 75 (и включая ее) она равна пулю; в ней F*(x) совершает скачок, равный 1/п = 0,01 и сохраняет значение 0,01 до точки х = 80 (включая ее); здесь она делает скачок, равный 2/гс = 0,02, становится равной 0,03 и сохраняет это значение до точки х = 82 (включая ее) и так далее.
Вычисляя таким образом функцию F*(x), получим таблицу ее значений на интервалах между скачками (табл. 11.2.3).
Таблица 11.2.3
X
F* (х)
X
F* (X)
*<75
0
101 < X < 102
0,58
75 < X < 80
0,01
102 < X < 103
0,64
80 < X < 82
0,03
103 < z < 104
0,66
82 < X < 84
0,05
104 < X < 105
0,68
84 < X < 85
0,06
105 < X < 106
0,70
85 < X < 87
0,07
106 < X < 107
0,72
4 87 < X < 88
0,09
107 < я < 108
0,74
88 < X < 89
0,14
108 < X < 109
0,77
89 < X < 90
0,15
109 < X < 110
0,78
90 < X < 91
0,17
НО < я < 111
0,80
91<я<92
0,20
HK я< 112
0,84
92 < X < 93
0,24
112 < я< 115
0,86
93 < X < 94
0,26
115 < 116
0,89
94 < X < 95
0,29
116 <я< 118
0,91
95 < X < 96
0,35
118 < X < 120
0,93
96 < X < 97
0,37
120 < X < 121
0,95
97 < X < 98
0,41
121 < X < 122
0,96
98 < X < 99
0,43
122 < X < 123
0,99
99 < X < 100
0,48
123
1,00
100 < X < 101
0,52
По материалам этой таблицы строим график функции F*(x) (рис. 11.2.1). Жирными точками, как всегда, помечены значения функции в точках разрыва.
Рис. 11.2.1, в отличие от табл. 11.2.1, уже дает пе-которое представление о характере распределения с. в. Х\ разумеется, самое общее представление, так как ясно,
1,0 0,8 0,6 ДО 0,2
J_
J_L
J_
J_L
!
75
82 85 88 90 92 94- 96 98 100 102 1OU 106 108 110 112
I I I I I ! I I_I_I_I_I_
_L_
J_
116 118 121 123 a?
J_I_!-.
80 84 87 89 91 93 95 9 7 99 101 103 105 107 109 111 Рис. 11.2.1
115
120 122 SB
о U H
S
H
k
i>
H
>
H
a
A tt
a
O
Ci H
>
H H
a к
11.3. ГРУППИРОВАННЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД 437
что некоторые особенности кривой F*(x) случайны и связапы с выбором именно тех, а не других сопротивлений для измерепия. Другие 100 опытов дали бы несколько иной график функции F*(x), но общая тенденция сохранилась бы. При неограниченном увеличении п скачки кривой F*(x) станут более мелкими; кривая F*(x) станет плавпее, будет приближаться (сходиться по вероятности) к функции распределения F(x) случайной величины X. Тем не менее, такой громоздкий и трудоемкий способ получения функции распределения F(x) вряд ли может быть рекомендован (не забудем, что каждый опыт, вообще говоря, стоит денег). На практике применяются другие, более простые способы построения законов распределения случайных величин по опытным даппым.
11.3. Группированный статистический ряд. Гистограмма
Для того, чтобы составить себе общее представление о законе распределения с. в. X, незачем фиксировать каждое наблюдепное зпачение и строить статистическую функцию распределения F*(x). Этим целям лучше служат группированный статистический ряд и гистограмма.
Для построения группированного статистического ряда весь участок оси абсцисс, на котором расположены ' значения с. в. X, наблюдавшиеся в опыте, делится на участки или «разряды». Длины разрядов необязательно брать равными друг другу: бывают случаи, когда на тех участках оси абсцисс, где наблюденные значения X располагаются гуще, удобнее брать разряды более мелкими, а там, где реже — более круппыми (или объедипять два или более равных по длине разрядов в один). Границы разрядов удобно брать «круглыми» числами.
Группированным статистическим рядом называется таблица, где в верхней строке указаны разряды: от — до (знак -f-), в нижней — соответствующие им частоты:
X:
h
4+11 ... |*ft_t
р\ 1-І Pt 1-І р1
причем 2 р* = 1.
г=1
Частота р* события {X^(#,•, xi+l)} вычисляется как отношение числа U опытов, в которых значение с. в. X
438 ГЛ. і і. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Разряды
704-80
804-90
904-100
Частоты
0,02
0,14
0,34
Разряды
1004-110
1104-120
1204-130



