Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Удобнее всего доказать эту теорему так, чтобы все комлекс-ные числа р-\-Ц1, участвующие в вычислении отрезка х, можно было изобразить с помощью точек с координатами р, ц на плоскости с прямоугольной системой координат, а все используемые операции можно было изобразить с помощью геометрических построений. Как это сделать, достаточно хорошо известно: сло-
!) По поводу истории вопроса см., например, Штелле (Stelle A. D.). Die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik.—Quellen und Studien Gesch. Math., 1936, 3, S. 287.
ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ и ЛИНЕЙКИ
225
жение — это сложение векторов, а вычитание — это обратная операция. При умножении складываются аргументы и перемножаются модули; поэтому, если фх, ф2 —аргументы и гъ г2 — модули перемножаемых чисел, то соответствующие значения ф, г для произведения строятся с помощью уравнений
Ф = Ф1 + Ф2 и г = ггг2 или 1:г1 = г2:г.
Обратной операцией является деление. Наконец, чтобы извлечь квадратный корень из числа с модулем г и аргументом ф, соответствующие значения г!, вычисляются из уравнений
ф = 2ф!, ф!=уф,
и
г = г) или 1 : г1 = г1: г.
Тем самым все свелось к известным построениям с помощью циркуля и линейки.
Имеет место и обратная теорема по отношению к только что доказанной:
Если отрезок х можно построить с помощью циркуля и линейки из данных отрезков а, Ь, ..., то число х можно получить с помощью рациональных операций и извлечения квадратных корней из чисел а, Ь, ...
Чтобы доказать это, рассмотрим подробнее операции, которые можно осуществлять в процессе построения. Вот они: задание произвольной, точки (внутри заданной области); проведение прямой через две точки; проведение окружности с заданными центром и радиусом; наконец, построение точки пересечения двух прямых, точек пересечения прямой и окружности или двух окружностей.
Все эти операции можно проследить с помощью координатной системы чисто алгебраически. Если точка берется внутри области произвольно, то мы можем считать ее координаты рациональными числами. Все остальные построения приводят к рациональным операциям, за исключением двух последних (пересечение прямой с окружностью или пересечение двух окружностей), которые приводят к квадратным уравнениям и, следовательно, к квадратным корням. Тем самым утверждение доказано.
Следует еще отметить, что в геометрической задаче речь не идет о построениях для каждого конкретного выбора заданных точек; там требуется найти общее построение, которое (при известных ограничениях) приводит к решению задачи. Алгебраически это означает, что одна и та же формула (она может содержать квадратные корни) при всевозможных значениях а, Ь, ..., удовлетворяющих заданным условиям, дает решение х, имеющее смысл и удовлетворяющее уравнениям геометрической задачи. Мы можем это высказать и так: уравнения, которыми
226
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
определяется величина х, а также квадратные корни и рациональ-I ые операции, с помощью которых мы решаем эти уравнения, должны сохранять смысл, если заданные элементы а, Ь, ... будут заменены на переменные. Так, например, если задается вопрос о выполнимости деления на три равные части с помощью циркуля и линейки, — в силу формулы
cos Зф = 4 cos3 ф — 3 cos ф
эта задача сводится к решению уравнения
4х3 — Зх = а (а = со5 3ф), (1)
— то вопрос состоит вовсе не в том, чтобы решить уравнение (1) для каких-то конкретных значений а с помощью квадратных корней, а спрашивается, существует ли общая формула решения уравнения (1) —формула, которая сохраняет смысл при неопределенном значении а.
Таким образом, мы свели геометрическую задачу построения с помощью циркуля и линейки к следующей алгебраической задаче: когда величина л: может быть выражена с помощью рациональных операций и квадратных корней через заданные величины а, Ь, ... ?
Ответить на этот вопрос нетрудно. Пусть & — поле рациональных функций от заданных величин а, Ь, ... Если элемент х должен выражаться с помощью рациональных операций и квадратных корней через а, Ь, ..., то х должен принадлежать полю, которое получается из $ последовательным присоединением конечного числа квадратных корней, т. е. последовательным переходом к расширениям степени 2. Если вместе с каждым квадратным корнем присоединять к полю квадратные корни из всех сопряженных элементов, то будут получаться только квадратичные расширения, и в итоге получится нормальное расширение степени 2т, в котором лежит элемент х. Итак:
Чтобы отрезок х можно было построить с помощью циркуля и линейки, необходимо выполнение следующего условия: число х принадлежит нормальному расширению поля & степени 2т.
Однако это условие и достаточно. Действительно, группа Галуа поля степени 2т является группой порядка 2т и, как группа, порядок которой есть степень простого числа, она разрешима (см § 52) Следовательно, существует композиционный ряд, композиционные факторы которого имеют порядок 2; согласно основной теореме теории Галуа ему соответствует цепь полей, где каждое последующее поле имеет степень 2 над предыдущим. Но любое расширение степени 2 можно осуществить присоединением некоторого квадратного корня; тем самым величина х выражается через квадратные корни, откуда и следует утверждение.
