Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Оп — Х1Х2 • ? • Xп.
Уравнение (2) сепарабельно и имеет в качестве группы Галуа над К (ах, ..., оп) симметрическую группу всех подстановок элементов хх, потому что каждая такая подстановка представляет некоторый автоморфизм поля К (хь ..., хп), оставляющий инвариантными симметрические функции от ..., ап, а потому и все элементы поля К (аъ ..., а„). Каждая функция от хъ ..., хп, инвариантная относительно подстановок из группы, принадлежит, следовательно, полю К (стх, ..., а„), т. е. каждая симметрическая функция от хл может быть рационально еыражена через оу, ..., оп. Тем самым мы ззыоео доказали часть основной теоремы о симметрических функциях из § 33 с помощью теории Галуа.
Кроме того, мы без труда получаем теперь «теорему единственности» из § 33, т. е. следующее утверждение: соотношение I (а1( ..., а„) = 0 может иметь место лишь тогда, когда многочлен / является тождественным нулем.
Действительно, в противном случае
f (Ох, ? • ? , О/;) ” / ( У, У] Х{Хь, . . . , Х}Х2 ... Хп) = 0,
и это соотношение оставалось бы выполненным после замены Х{ на щ. Таким образом, мы получили бы
/ (У У • • • - У1У2 • • • и„) = 0,
или /(%, ..., и„)=0; следовательно, многоцлен / оказался бы тождественным нулем.
Из теоремы единственности следует, что сопоставление
1(ии ..., ип)<—>!(оъ ..., Оп)
является не только гомоморфизмом, но даже и изоморфизмом колец К [«х, ...,«„] и К [сгх, ..., а„]. Этот изоморфизм может быть продолжен до изоморфизма полей частных К (иъ ..., ип) и К (Ох ..., оп) и, согласно § 41, до изоморфизма полей корней К (и,-, .... и„) и К (*1, ..., хп). Символы переходят в хк в каком-то порядке; так как хк перестановочны, мы можем переводить каждый и, в соответствующий Итак, доказано следующее;
| 63] ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ п Й СТЕПЕНИ 217
Существует изоморфизм
^ • • • » %п) = ^ (*^1» • • • » %п)у
который переводит каждый элемент щ в л:,-, а каждый и1 в щ.
С помощью этого изоморфизма можно перенести все теоремы об уравнении (2) на уравнение (1). В частности,
Общее уравнение (1) сепарабельно и имеет группой Галуа над полем своих коэффициентов К (щ, ..., ип) симметрическую группу. Степень поля разложения этого многочлена равна п\.
Положим
К (щ, ..., иф) = Л,
К(щ, цЛ) = 2,
и обозначим через @Л симметрическую группу. В ней всегда есть подгруппа индекса 2— знакопеременная группа 'Л„. Соответствующее промежуточное поле А имеет степень 2 и порождается любой функцией от щ, инвариантной относительно 'Лл, но не относительно 0Л. Если характеристика поля К отлична от 2, то одной из таких функций является произведение разностей
П (^-у*) = К0-
1 < к
квадрат которого равен дискриминант уравнения (1):
° = Г1 ~ и*)2-
Дискриминант является симметрической функцией, т. е. многочленом от и. Следовательно, поле А мы получаем в виде
А = А ('УЪ).
Для п > 4 группа проста (§ 55); поэтому
0Л дд 2(л дд € (3)
— композиционный ряд. Следовательно, группа 0Л при п> 4
неразрешима и согласно § 62 отсюда следует знаменитая теорема
Абеля:
Общее уравнение п-й степени при я > 4 неразрешимо в радикалах.
Для п — 2 и п = 3 композиционные факторы ряда (3) цикличны. Для п = 2 оказывается даже верным равенство = (?; для п = 3 факторы имеют порядки 2 и 3. Для я = 4 имеется композиционный ряд
0Л дд 21„ дд 584 дд 32 дд (?, где Д4 — «четверная группа Клейна»
{1, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
^18 ТЕОРИЯ ГАЛУА (ГЛ VIII
и З2 —ее любая подгруппа порядка 2. Порядки композиционных факторов таковы:
2, 3, 2, 2.
Эти обстоятельства лежат в основе формул для решений уравнений второй, третьей и четвертой степеней, которые рассматриваются в следующем параграфе.
§ 64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней
Решение общего уравнения второй степени
хг рх + <7 = О
согласно общей теории должно осуществляться в терминах квадратного корпя; в качестве такового (ср. конец предыдущего параграфа) можно взять произведение разностей корней хь хг\
хх — х2 = У0; П=р2 — 4^.
Отсюда и из равенства
Х\ + х2 = —р
получаются известные формулы
-р + Ур -р-Ур
1 2 ’ 2 2
Предположение во всех этих вычислениях только одно: характеристика основного поля не кратна двум.
Общее уравнение третьей степени
г3 + агг2 + а2г + а3 = О с помощью подстановки
1
г = х — у ах
может быть прежде всего преобразовано к виду
х3 + рх +1? = 0.
Это делается только для упрощения формул. Из доказательства легко усмотреть, как выглядят формулы для решений исходного уравнения
г3 + ахг3 + агг + а3 = 0.
(В соответствии с общей теорией решения уравнений, изложенной в предыдущем параграфе, мы предполагаем, что характеристика основного поля отлична от 2 и 3.)
Руководствуясь композиционным рядом
<23 дэ Л3 дд (?,
§64] УРАВНЕНИЯ 2-й. Зй И 4й СТЕПЕНЕЙ 219
присоединим сначала произведение разностей корней
(хг — х2) (х1 — х3) (х2 — х3) = уъ = У — 4р3 — 27ц2
(ср. § 33, конец, где <4 = 0, а2 = р, а3~ — ц). В результате получится поле А {\/П), относительно которого уравнение имеет группу ?13, т. е. циклическую группу третьего порядка. В соответствии с общей теорией из § 62 присоединим корни третьей степени из единицы
