Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если выполнено это условие, то для любых двух элементов х, у существует подстановка из группы, которая переводит х в у, потому что из
ра=х, оа — у
следует, что
(стр-1) х = у.
Следовательно, в вопросе о транзитивности безразлично, какой исходный элемент выбирается в качестве а.
Если группа © не является транзитивной над ЭЛ (интранзи-тивная группа), то множество ЭЛ распадается на области транзитивности, т. е. на такие подмножества, которые группа переводит в себя и на которых она является транзитивной. В основе разбиения на такие подмножества лежит следующее отношение: два элемента а, Ь из ЭЛ тогда и только тогда включаются в одно подмножество, когда в @ существует элемент о, переводящий а в Ь.
Это отношение, во-первых, рефлексивно, во-вторых, симметрично, в-третьих, транзитивно, потому что:
1) оа = а для сг — 1;
2) из оа = Ь следует о~1Ь = а-,
3) из оа — Ь, хЬ = с следует, что (та) а = с.
Следовательно, этим условием определяется разбиение множества ЭЛ на классы.
Если групна © транзитивна над ЭЛ и ©а — подгруппа, состоящая из элементов группы ©, оставляющих неподвижным элемент а из ЭЛ, то каждый левый смежный класс т©а по подгруппе (За переводит элемент а в однозначно определенный элемент ха. Таким образом, левым смежным классам взаимно однозначно соответствуют элементы множества ЭЛ. Следовательно, число смежных классов (индекс группы ©а) равно числу элементов множества ЭЛ.
192
продолжение теории групп
[ГЛ VII
Группа тех элементов из ©, которые оставляют инвариантными элемент то, задается равенством
Транзитивная группа подстановок некоторого множества ЭЛ называется импримитивной, если ЭЛ разбивается по меньшей мере на два непересекающихся подмножества ЭЛ^ ЭЛ2, ..., из которых хотя бы в одном содержится более одного элемента, причем элементы группы переводят каждое ЭЛц в некоторое ЭЛГ. Множества 9Л1( ЭЛ2, ... называются областями импримитивности. Если же разбиение
эл=элхиэл2и ...
только что указанного вида невозможно, то группа называется примитивной.
Примеры. Четверная группа Клейна импримитивна с областями импримитивности
{1, 2}, {3, 4}.
(Впрочем, возможны еще два разбиения на области импримитивности.) Наоборот, полная группа подстановок (и, равным образом, знакопеременная группа) на п символах обязательно является примитивной, потому что для каждого разложения множества ЭЛ на подмножества, например,
ЭЛ = {1, 2, ..., ?}и{-.-}и ... (1 <к<п),
существует подстановка, которая переводит {1, 2, ..., к] в {1, 2, .... &—1, &+1}> т. е. в множество, имеющее с {1, 2, ... ,&} общие элементы и не совпадающее с ним.
При любом разбиении ЭЭ? = {ЭЭ?1, ..., ЭЛ,.} с описанным выше свойством, в котором, следовательно, группа © переставляет множества 3)1 у между собой, для каждого V существует подстановка, принадлежащая группе, которая переводит ЭЭ^ в ЭЛ^ Действительно, нужно лишь на основе транзитивности найти такую подстановку, которая произвольно взятый элемент из ЭЛХ переводит в какой-нибудь элемент из ЭЛ^,; тогда эта подстановка будет переводить ЭЭ?! в ЭЛУ. Отсюда, в частности, следует, что множества ЭЛ1; ЭЛ2, ... состоят из одного и того же числа элементов.
Для произвольной транзитивной группы подстановок © некоторого множества ЭЛ выполняется следующая теорема:
Пусть 9 — подгруппа, состоящая из тех элементов группы ©, которые оставляют неподвижным некоторый элемент а множества ЭЛ. Если группа © импримитивна, то существует подгруппа I;, отличная от & и от д, для которой
дс= !)(=(©,
ТРАНЗИТИВНОСТЬ И ПРИМИТИВНОСТЬ
193
и обратно, если существует подгруппа Ь, удовлетворяющая этим включениям, то © импримитивна. Группа Ь оставляет неподвижной одну из областей импримитивности ЗЗ!^ а левые смежные классы по I) переводят ЗЗ^ в те или иные области ?3?г.
Доказательство. Пусть сначала группа © импримитивна и 9Д = {9Д1, 93!2, .—ее разложение на области импримитивности. Пусть а — некоторый элемент области ЗЗ^. Пусть Ь —подгруппа элементов группы б), оставляющих инвариантным множество Согласно сделанному выше замечанию группа I) содержит все подстановки из 03, переводящие а в себя или в какой-нибудь другой элемент подмножества ЭЗ^; отсюда следует, что дет!) и 1)=^д. Но в группе (3) существует подстановка, которая переводит 3)?!, скажем, в Э3?2; поэтому 1 ©. Если т переводит
систему Э9?! в ЭЗц, то и весь смежный класс т!' переводит ЭЗ^ в
Обратно, пусть д—группа, отличная от © и от Ь, и пусть
дсг!)с:©.
Группа © распадается на смежные классы т!) и каждый из этих смежных классов распадается на смежные классы ад. Последние смежные классы переводят элемент а в некоторые элементы оа; следовательно, если их собрать в смежные классы т1), то элементы оа составят по меньшей мере два непересекающихся множества Э3!г, 93!2, .. , каждое из которых состоит по меньшей мере из двух элементов. Множества Э3!у определяются, таким образом, условием
93?у = т1'а. (1)
Каждая новая подстановка о переводит Э3!г, = т1уз: в отЬа, т. е. опять-таки в некоторое множество того же вида, чем и доказывается импримитивность группы ©. Обозначим через 50!! множество, получающееся в соответствии с (1) при т=1; тогда I) (в силу ЮЗ?! = Ща = I)а = ЙЗ^) оставляет область импримитивности ЭЗ?! неподвижной, а смежные классы тЬ переводят ЭЗ^ в остальные области импримитивности 93!у (в силу тгЭЗ?! = хЩа = т!)а).
