Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Входящий в правую часть отрезок ряда э ... Э (?} и ряд {ф>12|)г2...2 ?>, = (?} согласно предположению индукции обладают изоморфными уплотнениями:
{& Э ...=<?} 2* {& = ... =2 & = ... = ®}. (7)
Левая часть в (7) дает некоторое уплотнение правой части в (6), для которого можно найти изоморфное уплотнение левой части в (6). Следовательно,
{© 2 ... 2 ®г 2 ... 2 ©а 2 ... 2 (?}
{© Э ... 3 <&! Э ... Э ?}
[ввиду (7)] ^{Й2...Э§1Э.,.Э^Э...2(?}.
Тем самым теорема полностью доказана1).
Если в двух изоморфных рядах вычеркнуть все повторения, то останутся изоморфные ряды. Следовательно, в основной теореме уплотнения, о которых идет речь, можно считать уплотнениями без повторений.
Из основной теоремы о нормальных рядах немедленно получаются две следующие теоремы о группах, обладающих композиционными рядами.
1. Теорема Жордана — Гёльдера. Любые два композиционных ряда одной и той же группы © изоморфны.
]) Другое доказательство предложено в работе Цассенхауз (Zas-senhaus Н). —Abh. math. Sem Hamburg, 1934, 10, S. 106.
180
продолжение теории групп
[ГЛ VII
Действительно, эти ряды совпадают со своими уплотнениями без повторений.
2. Если © обладает композиционным рядом, то каждый ее нормальный ряд можно уплотнить до композиционного. В частности, через каждую нормальную подгруппу проходит некоторый композиционный ряд.
Группа называется разрешимой, если у нее есть нормальный ряд, в котором все факторы абелевы. (Примеры: группы @3 и @4 —см. выше.)
Из основной теоремы следует, что у разрешимой группы любой нормальный ряд уплотняется до нормального ряда с абелевыми факторами. В частности, если такая группа обладает композиционным рядом, то все факторы последнего — абелевы группы.
Задача 1. Всякая конечная группа обладает композиционным рядом
Задача 2. Построить все композиционные ряды циклической группы порядка 20.
Задача 3. Абелева группа (без операторов) является простой лишь тогда, когда она циклична и имеет простой порядок.
Задача 4. В любом композиционном ряде конечной разрешимой группы композиционные факторы цикличны и имеют простой порядок.
§ 52. Группы порядка рп
Под центром группы © или кольца Ш подразумевается множество таких элементов г этой группы или этого кольца, которые перестановочны со всеми элементами:
гЕ = ёг лля всех g из ® или 3?.
Центр группы © является группой и даже нормальной подгруппой в ©. Центром кольца является подкольцо.
Пусть р — простое число, п — натуральное число и © — некоторая группа порядка рп. Покажем, что центр группы © не может состоять только из единичного элемента.
Рассмотрим разбиение группы © на классы сопряженных элементов (§ 9, задача 7). Чему равно число элементов в одном таком классе?
Пусть а — произвольный групповой элемент. Два элемента ЬаЬ-1 и сас *, сопряженные с а, равны тогда и только тогда, когда произведение Ь перестановочно с а:
из ЬаЬ-1 = сас 1 следует а (&-1с) = (Ь~гс) а.
Групповые элементы, перестановочные с а, составляют некоторую подгруппу 4\ называемую нормализатором элемента а. Если Ь'Ч принадлежит группе 4’> то с лежит в смежном классе Ыо. Обратно: если с лежит в Ьф, то можно положить с = Ыги тогда
сасг1 = ЬЬа (ЬН)-1 — ЬаШ гЬ 1 = ЬаЬ *.
ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
181
Таким образом, каждому смежному классу Ь$р соответствует некоторый сопряженный элемент bab-1, и наоборот. Число различных элементов, сопряженных с элементом а, равно числу смежных классов, т. е. равно индексу группы § в группе ©. Индекс всегда является делителем порядка группы. В частности, если а — элемент центра, то $ = (? и класс состоит из одного лишь элемента а. Во всех остальных случаях число элементов класса больше единицы.
Пусть теперь © — некоторая р-группа, т. е. группа порядка рп. Тогда число элементов в любом классе равно делителю числа рп, т. е. является степенью числа р. Порядок группы © равен сумме мощностей отдельных классов, т. е. сумме некоторых степеней числа р:
ph = 1 + pi +pi + ... + Рт. (1)
Если бы единица была единственным элементом центра, то в сумме справа участвовало бы лишь одно слагаемое 1, а все остальные делились бы на р. Тогда левая часть в (1) делилась бы на р, а правая — нет, что невозможно. Следовательно, центр любой р-группы не может состоять из одного единичного элемента.
Может оказаться так, что центр 3i является всей группой, тогда группа © абелева. В противном же случае можно построить факторгруппу @ = ©/3i- Она вновь является р-группой и, следовательно, обладает неединичным центром 3 = З2/З1- Продолжая таким образом, мы получим возрастающую последовательность центров
6 с: 3i ci З2 <= ...
Так как каждый ее член имеет больший порядок, чем предыдущий, последовательность должна закончиться через некоторое конечное число членов равенством Зл = СЗ. Факторгруппы 3*/3* ! все абелевы; поэтому:
Каждая группа порядка рп разрешима.
§ 53, Прямые произведения
Группа © называется прямым произведением подгрупп ?! и 33, если выполнены следующие условия:
А1. 31 и 33 — нормальные подгруппы в ©;
А2. © = 3(33;
АЗ. з(пзз = е.
Эквивалентными этому являются требования:
