Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
На самом деле, легко можно показать, что
кюлюсовК 1 ЄС, Ып> 1
для данной системы второго порядка.
5.6. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПОДБОРА КОРНЕЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Нет ничего необычного в том, что встречаются задачи моделирования с помощью цифровой системы, когда частота выборки цифровой модели отличается от частоты выборки в моделируемом процессе.
Автор встретился с этой ситуацией в программе «Аполлон», где возникла необходимость промоделировать (при 10 выборках в секунду) цифровой автопилот (ЦАП), который действовал при выбранном интервале выборки в 40 миллисекунд (25 выборок в секунду), ЦАП имел фильтр вида
^ = 2 62/_?-0де\ D }
/ [ о,64 J V J
который был выполнен с использованием разностного уравнения cp„ = 0,64?.! + 2,62 (/„ - 0,981 /„_,).
Целью являлось установление устойчивых характеристик D(z).
Мы установили местоположение полюсов и нулей В 5-ПЛОСКОСТИ и скорректировали полюс и нуль в г-плоскости для того, чтобы отсчитывать разницу в периоде выборки. Мы поняли, что полюс и нуль фильтра ЦАП в s-плоскости имеется при
І11 (^і'оліос) — 5іюлюс — air ~JT 1П (^нуль) — 5нуль ~ 0H'
В случае, если Г=4ХІ0-2 с (действительный интервал выборки ЦАП),
Gn = 251n (0,64) =25X —0,4463= —11,16; orH = 251n (0,98) = = 25 X —0,0202= —0.505.
Полюсом и нулем в z-плоскости при T = 0,1 с были
•г„Уль=е-0'0505 =0,9508; гполюс=е-Ы16=0,3277.
164
Таким образом, новая передаточная функция фильтра ЦАП может принять вид
DJz) =
v \ г— 0,3277 )
где k определяется подбором ступенчатой реакции фильтра реального ЦАП при помощи моделирующего фильтра.
Фильтр реального ЦАП обладает ступенчатой реакцией в виде:
выходной (г) = 2,62( z~~°№\ I—-—\
У } U-0,64)A*-W
конечное значение которого
(2,62)(0,02) =FV (0,36)
Моделирующий фильтр обладает конечным значением
0,6723 5
Так как нам необходимо, чтобы FV8=FV1 определим k следующим образом:
к= (0,6723)(2,62)(0,02^ ^39 (0,0492) (0,36)
Окончательно
U8[Z)= 1,9889("
г—0,9508
V z — 0,3277 /
И наконец, моделирующее разностное уравнение принимает вид
сРл = 0,3277сРл_1 + 1,9823 {In - 0,9508/^1).
Это уравнение дает вполне удовлетворительные результаты.
Распространение метода подбора корней на другие дискретные системы будет дано далее.
Подобные вопросы обсуждались в разд. 5.3 и использовались при моделировании дискретной системы.
5.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ B ЦИФРОВОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
Часто применяемым методом фильтрации в области управления и связи является дополнительная фильтрация, которая приводит к многим полезным и удивительным результатам.
Например, применяя дополнительные низкочастотные фильтры, можно получать решения с высокой точностью. Кроме того, частотный спектр функции возмущающего воздействия можно разложить на части и оперировать с ними, а затем вновь соединить его в случае уверенности, что это свойство в частотной области так же закономерно, как и во временный области. Наконец, кон-
165
цепция дополнительной фильтрации вытесняет при проектировании фильтров догадки и тайны и делается более доходчивой.
Рассмотрим фильтр G (s), структурная схема которого представлена на рис. 5.3. Если G (s) —простой низкочастотный фильтр вида
о (*)=-!—,
TS + 1
TO мы ПОНИМаеМ, что выходом фИЛЬТра ЯВЛЯеТСЯ #низкой частоты, или,
что то же, низкочастотные составляющие x(s). Теперь рассмотрим дополнительный фильтр
Од= l-O(S):
XS + 1
Этот простой широкополосный фильтр, который пропускает все частоты, отбрасываемые низкочастотным фильтром 1/(ts+1), и отбрасывает частоты, пропускаемые низкочастотным фильтром.
Из этого следует, что, если суммировать выходы этих двух фильтров, мы можем снова получить x(s) (рис. 5.4).
Чтобы понять это, заметим, что
_EL_ + _J_ = i.
TS + 1 TS + 1
A(S G(S) Хфипы.,
Рис. б.З. Структурная схема G(s)
rs rs+1
Ms)
X высокая частота
1
rs*4
Предполагаемая ' зависимость
1
со
Высокая частота д Низкая частота х
л M
Предполагаемая зависимость
т
Рис. 5.4. Структурная схема двух дополнительных фильтров
Мы видим, что, если фильтр представлен в виде G(s), его дополнением является просто 1 — 0(5). Из этого следует, что, так как
Од= 1-а
166
Рис. 5.5. Дополнительный фильтр, эквивалентный фильтру G
можно получить выход фильтра, используя его дополнение, как показано на рис. 5.5. Так, если фильтр имеет вид
не входя в обычные проблемы дифференцирующего устройства, так как его нелегко выполнить (будь то аналоговая или цифровая фильтрация), можно применить дополнение G(s)9 показанное на рис. 5.6.
Фильтры с определенной полосой пропускания, фильтры, ограничивающие по уровню, и дифференциаторы могут быть представлены, как показано на рис. 5.7.
Концепция дополнительного фильтрования вводится по следующим причинам.
1. Дополнительная фильтрация вносится без изменения в цифровой фильтр.
2. Это позволяет моделировать передаточные функции, обладающие нулями, используя только передаточные функции с полюсами. Так, простые системы первого и второго порядка с низкой пропускной способностью, рассмотренные в разд. 5.3 и 5.5,— это все, что необходимо для моделирования даже самых сложных передаточных функций.
