Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Вычислим некоторые значения функции возмущающего воздействия для системы, допускающей уп^уп-\. Образуем несколько первых членов функции /. Используя таблицу, оценим скорость изменения функции /. В этом случае можно просто использовать формулу экстраполяции для проведения первой оценки уп на основании yn-i и Уп-2- Автор находит, что не часто возникает необходимость применения метода экстраполяции при практической оценке решений применительно к дифференциальным уравнениям.
Эта техника получения разностных уравнений для моделирования динамики непрерывных процессов чрезвычайно полезна при моделировании динамических нелинейных процессов. Одной из проблем, однако, является то, что большинство разностных уравнений в неявной форме не может быть решением нелинейных дифференциальных уравнений, т. е. уравнение в неявном виде является нелинейным уравнением и обычно может быть решено только с помощью итерационного метода. Однако разностные уравнения явно-
115
го вида легко получаются и подставляются в выражение, которое может быть оценено значительно легче, чем при осуществлении численного интегрирования нелинейного уравнения.
3.2. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рекуррентные формулы для моделирования непрерывных динамических процессов предполагают, что разностные уравнения имеют тот же порядок, что и дифференциальные уравнения, которые должны быть промоделированы. Корни разностного уравнения определяются с учетом соответствующих корней дифференциального уравнения и учитывают «коэффициент корректировки» так же, как и при подборе окончательного выражения разностного уравнения, соответствующего исходному дифференциальному уравнению*
Для примера рассмотрим непрерывный процесс первого порядка с постоянными коэффициентами
%x-\-x=Q.
Допустим, что это уравнение имеет решение
x = est. (3. 11)
При подстановке получим показательное уравнение
(те+1)е" = 0, (3. 12)
которое имеет характеристический корень
s = =±. (3. 13)
В этом случае решение однородного дифференциального уравнения принимает вид
X = C1 е-'/\ (3. 14)
Решение неоднородного уравнения можно получить с помощью интеграла свертки, который может быть получен на базе решения однородного уравнения, образующего свертку с функцией возмущающего воздействия:
t
x=^Q{k)*Sb-*)i*dk. (3. 15)
о
Тогда полное решение дифференциального уравнения примет вид
л;=е-<л|| Q(k)ek^ dk + c^. (3. 16)
Подобные способы могут применяться для дифференциальных уравнений первого порядка, с помощью которых осуществляется либо анализ во временной области, либо для решения используются преобразования Лапласа, либо Z-преобразования.
116
Представим, что мы собираемся моделировать непрерывный процесс с помощью разностного уравнения, корни и конечное зна^ чение решений которого соответствуют таким же корням и конечному значению решения непрерывного процесса.
Допустим, что разностное уравнение имеет следующий вид:
хп=ахп-г-\- bQn, (3. 17)
а решение разностного однородного уравнения имеет вид
Хя = СіЄ-пт/хи (3. і8>
При подстановке получим показательное уравнение, соответствующее разностному уравнению
Сіе-"/*(\-а*Ц]) = 0. (3.19)
Чтобы корни разностного уравнения соответствовали корням дифференциального уравнения, требуется
a = erTl\ (3.20)
Это определяет коэффициент в разностном уравнении, который выполняет роль полюса соответствия между разностным и дифференциальным уравнениями:
Хп = е-т/*Хя_1и (3.21)
Этот метод должен гарантировать соответствие разностного-уравнения динамики дифференциальному уравнению динамики, так как их корни эквивалентны и образуют эквивалентные решения при разложении обоих в экспоненциальный ряд. При помощи этого* определяем конечное выражение разностного уравнения и подбираем с его помощью конечное значение решения дифференциального уравнения. Изложенный здесь метод более простой для тех неоднородных разностных уравнений, которые имеют вид
xn=z-^xn_x + bQn, (3.22)
где устойчивость состояния разностного уравнения с подобранным корнем достигается в том случае, если
Qn=1Qn-U Xn = Xn^x.
Тогда
При включении коэффициента корректировки в виде
b=\ -е-^ (3.24)
разностное уравнение принимает точно такое же окончательное значение, как и в исходном дифференциальном уравнении. Таким образом, моделирующее разностное уравнение примет вид
Xn = e-r/vr,-! + (1 - e-Th) Qn, (3. 25)
Заметим, что решение этого однородного разностного уравнения соответствует точному решению однородного дифференциального
117
уравнения. Оно образует последовательность решений, которые являются точными для реакции на ступенчатое воздействие Q(0 = = U(t), и образует решения, которые являются хорошей аппроксимацией дифференциального уравнения реакции на произвольное возмущающее воздействие.
Заметим, что это разностное уравнение не может стать неустойчивым независимо от размера шага интегрирования, так как выражение е~~т/х всегда меньше единицы независимо от того, как будет велико T при т>0.
Из табличных значений явствует, что между решением динамического разностного уравнения и решением непрерывного дифференциального уравнения возникает значительная ошибка. Однако из уравнения (3.25) становится ясным, что решения разностных уравнений являются запаздывающими по сравнению с непрерывными решениями. С точки зрения динамики они идентичны дифференциальному уравнению за исключением эффекта фазового смещения. Конечно, можно уменьшить размер шага для сведения двух кривых ближе, но этот способ и не точный и не эффективный при уменьшении этого рода ошибок. Им можно компенсировать эту фазовую ошибку определением с помощью интерполяции времени получения последовательности реакций в разностном уравнении по сравнению с дифференциальным уравнением и затем учесть это время смещения в таблице последовательности решений разностного уравнения.
